Стандартные распределения непрерывных случайных величин
Основными являются следующие распределения:
· Равномерное f(x)=0, если x<a
0, если x>a
c, если a≤x≤b
Это распределение симметричное, то есть все характеристики положения (математическое ожидание, мода, медиана) принадлежат одному значению.
- распределение плосковершинное.
Здесь два параметра распределения (a и b).
· Нормальное распределение:
где a и σ – параметры
распределения. а – математическое ожидание, σ – среднее квадратическое отклонение. Судя по формуле это распределение симметрично относительно a. Кроме того, достигается max f(x) в точке x=a, значит, математическое ожидание совпадает с модой. Нетрудно заметить, что совпадает и с медианой.
Анализ σ показывает, что при малых значениях σ распределение будет островершинным, при больших – плосковершинным, приближающимся к равномерному.
Вид кривой Гаусса:
f(x)
a(+-)σ=0,05
a(+-)σ-Sфиг=0,95
a
Указанные закономерности называются правилами двух сигм и трех сигм. Асимметрия равна 0. Эксцесс равен 3 или 0.
Выделяется распределение Гаусса с A=0 и σ=1. Такая величина называется стандартной и приведена в таблице.
· Показательное (экспоненциальное) распределение: f(x)=μe-μx, если x≥0
f(x)
μ
x
F(x)
0 x
F(x)=1-e-μx
A=2
E=9
Отсюда можно выделить основное свойство показательного распределения, а именно Mx, экспоненциально распределенной величины равно среднему квадратическому отклонению.
При исследовании моделей непрерывных случайных величин можно использовать еще один критерий согласия, а именно критерий согласия Колмогорова. Он применяется только для непрерывных случайных величин и рассматривает непрерывную интегральную функцию распределения. Строится новая характеристика |Fвыб(x)-Fтеор(x)|. Далее выбирается максимальное значение этой разности Dв=max |Fвыб(x)-Fтеор(x)|.
Для этой случайной величины Колмогоров установил вид распределения, которое было названо распределением Колмогорова. Оно выражает предельную вероятность того, что значение Dвыборки∙√n не будет превосходить некоторого заданного числа:
Существует таблица значений функций 1-K(λ). Это вероятность того, что p(DB∙√n>λ). Чтобы применить критерий Колмогорова нужно проверить значение 1-K(λ0)=max DB∙√n. Если значение 1-K(λ0) будет не более 0,05, то это показывает осуществление маловероятного события, поэтому расхождение между выборкой и выравнивающим распределением будет существенным, или значимым, иначе выборочные данные хорошо согласуются с моделью закона распределения. При анализе показательно распределенной непрерывной случайной величины следует помнить о том, что максимально вероятное значение с Mx равным 0можно получить для статистики отклонения.