Стандартные распределения непрерывных случайных величин

Основными являются следующие распределения:

· Равномерное f(x)=0, если x<a

0, если x>a

c, если a≤x≤b

 

 

Это распределение симметричное, то есть все характеристики положения (математическое ожидание, мода, медиана) принадлежат одному значению.

 

 

- распределение плосковершинное.

Здесь два параметра распределения (a и b).

· Нормальное распределение:

 

 

где a и σ – параметры

распределения. а – математическое ожидание, σ – среднее квадратическое отклонение. Судя по формуле это распределение симметрично относительно a. Кроме того, достигается max f(x) в точке x=a, значит, математическое ожидание совпадает с модой. Нетрудно заметить, что совпадает и с медианой.

 

Анализ σ показывает, что при малых значениях σ распределение будет островершинным, при больших – плосковершинным, приближающимся к равномерному.

Вид кривой Гаусса:

 

 

f(x)
a(+-)σ=0,05

a(+-)σ-Sфиг=0,95

 

a

Указанные закономерности называются правилами двух сигм и трех сигм. Асимметрия равна 0. Эксцесс равен 3 или 0.

Выделяется распределение Гаусса с A=0 и σ=1. Такая величина называется стандартной и приведена в таблице.

· Показательное (экспоненциальное) распределение: f(x)=μex, если x≥0

 

f(x)

μ

 

 

x

 

F(x)

 

 

0 x

F(x)=1-e-μx

A=2

E=9

 

 

Отсюда можно выделить основное свойство показательного распределения, а именно Mx, экспоненциально распределенной величины равно среднему квадратическому отклонению.

При исследовании моделей непрерывных случайных величин можно использовать еще один критерий согласия, а именно критерий согласия Колмогорова. Он применяется только для непрерывных случайных величин и рассматривает непрерывную интегральную функцию распределения. Строится новая характеристика |Fвыб(x)-Fтеор(x)|. Далее выбирается максимальное значение этой разности Dв=max |Fвыб(x)-Fтеор(x)|.

Для этой случайной величины Колмогоров установил вид распределения, которое было названо распределением Колмогорова. Оно выражает предельную вероятность того, что значение Dвыборки∙√n не будет превосходить некоторого заданного числа:

 

Существует таблица значений функций 1-K(λ). Это вероятность того, что p(DB∙√n>λ). Чтобы применить критерий Колмогорова нужно проверить значение 1-K(λ0)=max DB∙√n. Если значение 1-K(λ0) будет не более 0,05, то это показывает осуществление маловероятного события, поэтому расхождение между выборкой и выравнивающим распределением будет существенным, или значимым, иначе выборочные данные хорошо согласуются с моделью закона распределения. При анализе показательно распределенной непрерывной случайной величины следует помнить о том, что максимально вероятное значение с Mx равным 0можно получить для статистики отклонения.