Исходные положения метода гармонической линеаризации

(гармонического баланса)

В отличие от ранее рассмотренных методов этот метод приближенный, но для него нет ограничения на порядок системы.

Рис. 4.1.1

Рис. 37

Нелинейная система представляется в одноконтурном виде (рис.4.1.1) и содержит нелинейный элемент, описываемый выражением

- уравнение нелинейного элемента. (4.1.1)

и линейной частью с передаточной функцией

(4.1.2)

причем степень полинома знаменателя N(s) больше степени полинома числителя M(s).

Метод основан на следующих допущениях:

1. Переменная х на входе нелинейного элемента изменяется по гармоническому закону, при этом колебания могут быть симметричными (рис.4.1.2)

или несимметричными

Если входное воздействие g(t)=0, то колебания могут возникнуть по причине собственных свойств системы.

Рис. 4.1.2

2. Линейная часть системы обладает фильтрующими свойствами (ослабление или подавление) высших гармоник)

w₁w₂ w₃

Рис. 4.1.3

Поскольку степень полинома знаменателя N(s) больше степени полинома числителя M(s) амплитудная частотная характеристика A(w)=|W(jw)| стремится к нулю при .

Если ω₁-частота первой гармоники (рис.4.1.3), а ω_2,ω_{3 -}- соответственно второй, третьей, то свойство фильтра линейной части системы состоит в выполнении условия

(4.1.3)

Результатом фильтрующих свойств линейной части является уменьшение амплитуд высших гармоник, при этом переменная x на входе НЭ близка к синусоиде.

В 1934г. Крылов и Боголюбов предложили метод определения параметров периодических режимов, основанный на допущении, что система обладая фильтрующими или резонансными свойствами имеет периодический характер движения. Поэтому исследование периодических режимов можно вести только на основной гармонике.

Пусть на вход НЭ с уравнением (4.1.1) подается гармонический сигнал

(4.1.4)

С учетом (4.1.4) переменная у на выходе нелинейного элемента представляет собой периодическую негармоническую функцию. Разложим эту функцию в ряд Фурье.

(4.1.5)

- .(4.1.6)

определяет постоянную составляющую на выходе НЭ

В случае симметричных колебаний постоянная составляющая на выходе нелинейного элемента y₀=0.

Высшие гармоники можно отбросить по двум причинам:

1. Уменьшение амплитуд вследствие фильтрующих свойств линейной части.

2. В разложении Фурье высшие гармоники имеют меньшую амплитуду, по сравнению с первой гармоникой.

Недостаточная обоснованность этого действия приводит к приближённости метода.

Из (4.1.4) можно выразить: , (4.1.7)

С учётом изложенного, нелинейное уравнение (4.1.1) с точность до высших гармоник заменяется приближенным линейным уравнением (гармонически линеаризованным):

- уравнение гармонической линеаризации, (4.1.8)

где и - коэффициенты гармонической линеаризации.

(4.1.9) (4.1.10)

Если амплитуда и частота колебаний постоянны, то эти коэффициенты постоянны. В переходных колебательных режимах с изменением А и ω коэффициенты и также изменят свои значения, что существенно отличает метод гармонической линеаризации от метода малых отклонений.

Если в выражении (4.1.8)) заменить , тогда

(4.1.11)

Тогда уравнение гармонической линеаризации принимает вид

(4.1.12)

Формулы гармонической линеаризации для более простых нелинейностей типа

, будут иметь вид при x = Asinωt: . (4.1.13)

. (4.1.14)

. (4.1.15)

(4.1.16)

r(A) – модуль ПФ, показывает во сколько амплитуда первой гармоники на выходе Н.Э. отличается от амплитуды входного сигнала.

(4.1.17)

μ(A) – аргумент ПФ, определяет фазовый сдвиг между первой гармоникой на выходе Н.Э. и входным сигналом.

Если амплитуда и частота колебаний постоянны, то эти коэффициенты постоянны, а в переходном колебательном режиме с изменением амплитуды А и частоты ω коэффициенты также изменяются.

Подобно годографам АФХ W(jω) линейной части, годограф J(A) нелинейного элемента отображается на комплексную плоскость.

Для неоднозначных нелинейных характеристик годограф J(A) имеет вид некоторой кривой (рис.4.1.4) в системе координат . В случае однозначных характеристик годограф J(A) обращается в отрезок прямой линии , лежащий на вещественной оси .