Преобразования базисов.

Базисный репер. Компоненты векторов.

Введем в трехмерном пространстве репер из трех линейно независимых векторов В общем случае эти вектора являются ни единичными ни ортогональными. Тогда произвольный вектор может быть представлен в этом репере выражением

Числа называются компонентами вектора в базисе и зависят от выбора этого базиса.

Введем величину

Эта величина является симметричным тензором второго ранга. Матрица , представляющая этот тензор, в силу линейной независимости векторов является неособенной, т.е. и в случае ортогонального и нормированного репера – единичной. Тогда скалярное произведение двух векторов и в нашем пространстве, с учетом выражения (3.1), может быть представлено в виде

,

Поскольку матрица неособенная мы можем ввести матрицу такую, что

Введем базис , дополняющий базис . По определению положим

(3.5)

Тогда, как легко увидеть,

, (3.6)

. (3.7)

Следовательно, вектора дополняющего и основного базисов ортогональны. Поскольку также базис, произвольный вектор может быть разложен по базису и представлен в виде

, (3.8)

где числа являются компонентами вектора в дополняющем базисе . Между числами и нетрудно установить связь:

, (3.9)

. (3.10)

Полученные соотношения (3.9) и (3.10) называются правилами поднятия и опускания индексов.

Теперь выражение для скалярного произведения векторов примет вид

. (3.11)

Найдем выражения для компонент вектора в обоих базисах.

, (3.12)

(3.13)

Следовательно,

(3.14)

Полученные соотношения (3.14) взаимно однозначно ставят в соответствие вектору его компоненты в базисе или компоненты в базисе . Эти компоненты вектора называются контравариантными и ковариантными соответственно.

Очевидно, что в пространстве существует бесконечное количество базисов. Выберем из всего множества базисов другой базис . Тогда вектора, составляющие этот базис, могут быть представлены в исходном базисе следующим образом

, (3.15)

где -матрица, описывающая преобразование базиса в базис (верхний индекс матрицы помечает столбцы, а нижний – строки). Установим связь базиса с дополняющим базисом :

, (3.16)

где . Воспользуемся определением (3.2). Тогда получим

(3.17)

Если оба базиса и ортонормированы, то матрица ортогональна, поскольку . Итак, для основных базисов мы установили закон преобразования (3.15). Найдём закон преобразования для дополняющих базисов. Мы имеем

С другой стороны

Поэтому

Переобозначим индексы слева

Теперь

;

.

Тогда

.

Отсюда получаем закон преобразования дополняющего базиса

. (3.18)

Таким образом, мы установили законы преобразования прямых и дополняющих базисов. Установим законы преобразования компонент вектора при преобразованиях базисов. Для произвольного вектора получаем:

(3.19)

Теперь видно, что компоненты вектора в основном базисе (контравариантные компоненты) преобразуются по закону преобразования дополняющего базиса, а компоненты вектора в дополняющем базисе (ковариантные компоненты) преобразуются по закону преобразования основного базиса. Выделим эти законы:

(3.20)

Отсюда становятся понятными принятые названия для компонент вектора: ковариантный– преобразующийся, так же как и основной базис, контравариантный –преобразующийся не так как основной базис.