Средние величины, понятие, свойства. Среднее арифметическое (простое, взвешенное), мода, медиана, способы вычисления

После составления вариационного ряда (простого или сгруппированного) определяется средний уровень признака - средняя величина или среднее арифметическое.

_

Средняя величина (x) – это обобщающая величина изучаемого признака исследуемой совокупности, которая отражает его типичный уровень в расчете на единицу совокупности в конкретных условиях места и времени.

Средняя, рассчитанная по совокупности в целом, называется общей средней. Она отражает общие черты явления.

Средняя величина, вычисленная для каждой группы, - это групповая средняя. Она характеризует размер явления, наблюдаемый в конкретных условиях данной группы.

Способность средних величин сохранять свойства статистических совокупностей называют определяющим свойством.

Средние величины делятся на 2 больших класса:

1. Степенные средние (среднее гармоническое, среднее геометрическое, среднее арифметическое, среднее квадратическое, среднее кубическое);

2. Структурные средние (мода и медиана). Мода и медиана определяются структурой распределения. Их часто используют как среднюю характеристику в тех совокупностях, где расчет средней величины невозможен или нецелесообразен (когда используют качественные признаки или при количественных признаках закон частотного распределения не подчиняется распределению Гаусса).

Наиболее часто употребляются три вида средних величин: среднее арифметическое (простое и взвешенное), мода и медиана.

Под средним арифметическим понимают такое значение признака, которое имела бы каждая единица совокупности, если бы общий итог всех значений признака был распределен равномерно между всеми единицами совокупности. Практически, простое среднее арифметическое вычисляется в случаях, когда варианты встречаются с одинаковой частотой и в совокупности, где N≤30.

Взвешенное среднее арифметическое (X_в) определяется в случаях, когда варианты встречаются с неодинаковой частотой и в совокупности при N> 30.

Если же варианты представлены большими числами (например, масса тела новорожденных в граммах) и имеется число наблюдений, выраженное сотнями или тысячами случаев, взвешенное среднее арифметическое может быть вычислено по способу моментов.

Среднее арифметическое имеет следующие свойства:

1. Занимает срединное положение;

2. Имеет абстрактный характер;

3. Сумма отклонений всех вариант от средней величины равна нулю;

4. Позволяет охарактеризовать исследуемую совокупность одним числом;

5. Дает возможность сравнить отдельные величины со средним арифметическим;

6. Способствует определению тенденции развития какого-либо явления;

7. Позволяет сравнить разные совокупности;

8. Используется для вычисления других статистических показателей.

Следует помнить, что среднее арифметическое используется только для количественных признаков, подчиняющихся нормальному закону частотного распределения.

Являясь одной из основных характеристик вариационного ряда, среднее арифметическое не лишено недостатков, т.к. весьма чувствительно к увеличению или уменьшению числа наблюдений за счет вариант, резко отличающихся по своей величине от основной массы. Поэтому на величину среднего арифметического могут значительно влиять крайние варианты ранжированного вариационного ряда, которые как раз и наименее характерны для данной совокупности. Устранить указанный выше недостаток среднего арифметического можно путем определения моды и медианы, т.к. на их величины не оказывают влияние числовые значения крайних вариант.

Мода (Мо) – соответствует величине признака, которая чаще других встречается в данной совокупности. За моду принимают варианту, которой соответствует наибольшее количество частот (n) вариационного ряда.

Медиана (Me) - величина признака, занимающая срединное положение в вариационном ряду. Она делит ряд на две равные части по числу наблюдений. Для определения медианы надо найти середину ряда. При четном числе наблюдений за медиану принимают среднюю величину из двух центральных вариант. При нечетном числе наблюдений медианой будет срединная (центральная) варианта.

Медиану и моду используют для описания качественных признаков и количественных с законом частотного распределения, не соответствующего «нормальному».