Тапсырмалар

R F

О

a

l A

 

 

10 – сурет 11- сурет

Айналмалы қозғалыс кезінде массаның ролін инерция моменті, ал сызықтық жылдамдықтың ролін бұрыштық жылдамдық атқаратынын білеміз, ендеше F күштің осьтің кейбір 0 нүктесіне қатысты күш моменті М деп келесі өрнекпен анықталатын векторлық шаманы айтады:M=[rF](5.12)

Мұндағы r-радиус вектор, ал l-күш иіні деп аталады. М векторының бағыты бұрғы ережесі бойынша анықталады. Күш моменті денені берілген осьтен айналдыра алу қабілетін сипаттайды. Қозғалмайтын О нүктесіне қатысты күш моменті дегеніміз О нүктесінен күш түсіп тұрған А нүктесіне дейін жүргізілген радиус-вектор мен күштің векторлық көбейтіндісі арқылы анықталатын физикалық шама (10-сурет), мұндағы М–псевдовектор, оның бағыты бұранданы r векторынан Ғвекторына қарай айналдырғандағы оң бұранданың ілгерілемелі қозғалысына сәйкес келеді. Күш моментінің модулі M=Frsina=Ғl (5.13)

мұндағы a-rменFвекторлары арасындағы бұрыш. rsina l –күш иіні, күш әсер ететін сызық пен О нүктесі арасындағы ең қысқа аралық.

Қатты дененің айналысы кезіндегі сыртқы күштердің жұмысын анықтайық (11-сурет). Айналу осінен r қашықтықта орналасқан В нүктесіне Ғ күш түсірілген. Күштің бағыты мен rрадиус-вектордың арасындағы бұрыш-a. Қарастырып отырған дене абсолют қатты дене болғандықтын осы күштің жұмысы денені түгелімен бұруға кеткен жұмысқа тең. Денені өте аз dj бұрышқа бұрғандағы күш түсу нүктесі ВdS=rdj жол жүреді және жұмыс күштің ығысу бағытына проекциясы мен ығысу шамасының көбейтіндісіне тең: dA=Ғsina rdj (5.14)

(5.13) ескере отырып, келесі өрнекті жазамыз dA=M_z dj (5.15)

мұндағы Frsina=Ғl=M_z – z осіне қатысты күш моменті. Соныменен, дененің айналуы кезіндегі жұмыс әсер етуші күш моменті мен бұрылу бұрышының көбейтіндісіне тең.

Денені айналдыру кезіндегі жұмыс оның кинетикалық энергиясының артуына жұмсалады: dA =dT, бірақ dT = d(J_zw²/2) = J_zw dw сондықтан M_z dj = J_zw dw немесе M_z ( dj/dt) =J_zw(dw/dt) w=dj/dt екенін ескерсек, келесі өрнек шығады M_z=J_z(dw/dt)=J_ze (5.16)

(5.16) теңдеу қозғалмайтын оське қатысты қатты дененің айналмалы қозғалысының динамика теңдеуі болып табылады. Айналмалы қозғалысты ілгерілемелі қозғалыспен салыстырғанда әрқашанда олардың арасындағы сәйкестікті қарастырады. Сондай сәйкестіктердің бірі ілгерілемелі қозға-лыстағы импульс шамасына айналмалы қозғалыста импульс моменті болып табылады. Қозғалмайтын нүктеге қатысты материалдық нүктенің импульс моменті дегеніміз келесі векторлық көбейтінді арқылы анықталатын физикалық шама болып табылады: L=[rp]=[rmv] (5.17)

мұндағы r-қозғалмайтын нүктеден материалдық нүктеге дейін жүргізілген радиус-вектор; mv–материалдық нүктенің импульсі; L–псевдовектор, оның бағыты оң бұранданы rвекторынан p векторына қарай бұраған кездегі оның ілгерілемелі қозғалысының бағытына сәйкес келеді.

Импульс моменті векторының модулі L=rpsina=mvrsina=pl (5.18)

мұндағы a-rжәне p векторларының арасындағы бұрыш, l-қозғалмайтыннүктеге қатысты p векторларының иіні.

Оське қатысты қатты дененің импульс моменті жекелеген бөлшектерінің импульс моменттерінің қосындысына тең:

_{n n n}

L_z=S m_iv_i r_i =S m_i r²_i w=wS m_i r_i²=J_zwяғни L_z=J_zw(5.19)

^{i=1 i=1 i=1}

Осытеңдеудіуақыт бойынша дифференциялдасақ, онда:

dL_z/dt=J_zdw/dt=J_ze=M_z яғни dL_z/dt=M_z

Бұл өрнек те қозғалмайтын оське қатысты қатты дененің айналмалы қозғалысының динамика теңдеуі болып табылады: оське қатысты қатты дененің импульс моментінің туындысы осы оське қатысты күш моментіне тең. Вектор түрінде жазатын болсақ dL/dt=M(5.20)

Тұйық жүйеде сыртқы күштердің моменті M=0 және dL/dt=0, осыдан

L= const (5.21)

(5.20) өрнек импульс моментінің сақталу заңы болады: тұйық жүйеде импульс моменті сақталады, яғни уақыт өтуіне қарай өзгермейді.

Импульс моментінің сақталу заңы-табиғаттың фундаментальды заңы болып табылады. Ол кеңістіктің симметриялылығы-изотроптығымен байланысты. Айналмалы қозғалыс динамикасының теңдеуі қатты денелердің қозғалысы денеге әсер ететін күштер және осы күштердің

моменттері арқылы анықталады.

Қатты дене тепе-теңдік күйде болуы үшін мына шарттардың орындалуы қажет:

1. Денеге түсірілген барлық сыртқы күштердің векторлық қосындысы

нольге тең болуы тиіс.

2. Кез келген қозғалмайтын оське қатысты сыртқы күштердің моменті

нольге тең болуы тиіс.

Дененің айналмалы қозғалысын сипаттайтын шамалар мен қозғалмайтын оське қатысты айналысын анықтайтын теңдеулерін және оның ілгерілемелі қозғаласының сипаттамаларын салыстыру 1-кестеде көрсетілген.

1-кесте.

Ілгерілемелі қозғалыс	Айналмалы қозғалыс
Физикалық шама	Белгіленуі немесе формуласы	Физикалық шама	Белгіленуі немесе формуласы
Масса Жылдамдық Үдеу Күш Импульс Динамиканың негізгі теңдеуі Жұмыс Кинетикалық энергия	m v=dr/dt a=dv/dt F p=m v F=ma F=dp/dt dA =Fs dS mv2/2	Инерция моменті Бұрыштық жылдамдық Бұрыштық үдеу Күш моменті Импульс моменті Динамиканың негізгі теңдеуі Жұмыс Кинетикалық энергия	I w=dj/dt e=dw/dt Mz немесе М Lz=Jzw Mz=Jze M = dL /dt Mz dj Jzw2/2

Бақылау сұрақтар

return false">ссылка скрыта

§ Айналмалы қозғалыстың анықтамасын беріңіз.

§ Инерция моменті деген не?

§ Айналмалы қозғалыстағы дененің инерция моментінің ролі қандай?

§ Айналмалы қозғалыс үшін кинетикалық энергияның формуласын қалай қортып шығаруға болады?

§ Қозғалмайтын нүктеге қатысты күш моменті деген не? Күш моментінің бағыты қалай анықталады?

§ Қатты дененің айналмалы қозғалысы үшін динамиканың негізгі теңдеуін қорытып шығарыңыз.

§ Материалдық нүктенің, қатты дененің импульс моменті деген не? Импульс моментінің бағыты қалай анықталады?

§ Импульс моментінің сақталу заңын түсіндіріңіз.

 

Тапсырмалар

 

5.1. Инерция моменті 2 кг·м² болатын маховик w₀ бұрыштық жылдамдықпен және 0,21рад/с² бұрыштық үдеумен айналып тұрып, 0,42Н·м күш моментінің әсерінен 1 мин уақыттан кейін барып тоқтайды. Маховикті біртекті диск деп қарастырыңыз. Маховиктің бұрыштық жылдамдығын анықтаңыз.

 

5.2. Радиусы 0,5 м массасы m болатын біртекті дискнің шетіне 100 Нкүш әсер етеді. Осы күштің әсерінен диск айналысқа келгенде оған әсер ететін күш моменті-2 Н·м. Дискнің бұрыштық үдеуін және массасын анықтаңыз.

 

5.3.Ұзындығы 1 м, массасы 2,5 кг болатын біртекті стерженьнің бұрыштық үдеуін анықтаңыз. Айналу осі стерженьнің ортасынан перпендикуляр бағытта өтеді. Айналдыру моментін 100 Н·мдеп алыңыз.

 

5.4. Диаметрі 0,5 м, массасы 0,25кг, болатын шар горизонталь жазық бетте 10 с^-1 жиілікпен домалайтын болса, онда шардың кинетикалық энергиясы W қандай болады ?

 

5.5.Массасы 1 кг болатын біртекті тұтас цилиндр тәрізді жасалған қозғалмайтын блок арқылы өтетін салмақсыз жіптің ұштарына массалары 1 және 2 кг болатын екі дене ілінген. Блок осіндегі үйкелісті ескермей, жүктердің үдеуін, керілу күштерінің қатынасын Т₂/Т₁ анықтаңыз.