Методические указания по выполнению эпюра № 4 степени сложности А.

«Метрические задачи» выполняется карандашом на бумаге формата А1, оформляются основной надписью (угловым штампом) и дополнительными графами по ГОСТ 2.104 – 68 ЕСКД. Сначала эпюр выполняется тонкими линиями, но с обозначением всех проекций точек, линий, осей и определением видимости ребер пирамиды SАВС. Окончательная обводка чертежа карандашом выполняется после решения задач с соблюдением типов линий по ГОСТ 2.303-68: видимый контур пирамиды, видимые ребра и стороны основания обводятся сплошными основными линиями толщиной S (около 1 мм); невидимые ребра и стороны основания – штриховыми линиями толщиной S/2 (около 0,5 мм); оси проекций, вспомогательные построения и линии проекционной связи – сплошной тонкой линией толщиной S/3 (не менее 0,3 мм).

Натуральные величины расстояний, углов и формы плоской фигуры рекомендуется обвести цветным карандашом.

Обозначение проекций точек, линий и осей проекций выполняется в соответствии с условностями, принятыми в начертательной геометрии, и с соблюдением ГОСТ 2.304 – 68 ЕСКД.

Задача 1. Определить натуральную величину основания пирамиды АВС способом совмещения с горизонтальной плоскостью уровня.

Способом совмещения называется преобразование плоскости общего положения в плоскость уровня или в плоскость, совмещенную с плоскостью проекций H, V или W. Если плоскость на чертеже задана следами, то совмещение осуществляется методом вращения вокруг следа. Плоскость вращают на величину угла, который данная плоскость образует с плоскостью уровня (проекций). На рисунке 6.1 показан метод совмещения. Плоскость общего положения Р задана горизонтальной прямой АВ и точкой С. Поворот плоскости Р можно осуществлять в двух направлениях, но чаще всего производится в сторону, удобную для компоновки чертежа.

Рисунок 6.1− Преобразование плоскости общего положения в плоскость уровня

 

Через прямую АВ проведена плоскость уровня М (М параллельна горизонтальной плоскости проекций Н). Для того, чтобы совместить плоскость Р с плоскостью М достаточно повернуть точку С вокруг горизонтали АС до совмещенного положения с плоскостью М. При повороте точка С будет перемещаться в плоскости R, которая перпендикулярна оси вращения АВ и горизонтальной плоскости проекций. Радиус вращения точки С – расстояние от точки до оси вращения.

На рисунке 6.2 вращение точки С вокруг горизонтальной прямой АВ показано на эпюре. Горизонтально-проецирующая плоскость R изобразится на эпюре следом R_Н, перпендикулярного к горизонтальной проекции оси вращения аb.

При вращении точка С будет перемещаться вдоль горизонтального следа R_H. Радиус вращения – это расстояние от точки С до центра вращения О. На эпюре радиус вращения является прямой линией общего положения и представлен горизонтальной (ос) и фронтальной проекциями (o'c'). Для нахождения натуральной величины R_C использован метод прямоугольного треугольника. Определение натуральной величины радиуса вращения можно произвести геометрически на свободном поле чертежа (рисунок 4.2). Длина отрезка 1-3 соответствует длине горизонтальной проекции (ос), а длина отрезка 1-2 – это разница координат Z точек О и С.

 

Рисунок 6.2 − Совмещение точки с плоскостью уровня на эпюре

 

На рисунке 6.3 произведено совмещение плоскости, заданной треугольником АВС (основание пирамиды), с плоскостью Р, параллельной Н. За ось вращения принята горизонталь АК, проходящая через вершину треугольника А. Этот выбор позволяет получить совмещенное положение треугольника вблизи заданных проекций, что сокращает площадь чертежа.

При вращении плоскости треугольника вершина А остается неподвижной, т.к. она расположена на оси вращения. Последовательно вращаем вершины С и В вокруг оси так, как это показано на рисунке 6.2. При вращении каждая точка будет перемещаться по окружности, горизонтальная проекция которой - прямая линия, перпендикулярная оси вращения (горизонтали). Для каждой точки определяем натуральную величину радиуса вращения методом прямоугольного треугольника.

Получив совмещенные положения точек В₀ и С₀, соединяем их и получаем натуральную величину треугольника АВС.

Решив эту задачу, мы можем определить действительные размеры треугольника, его углы, можно найти центры описанной и вписанной в треугольник окружности и произвести другие измерения.

 

Рисунок 6.3 − Совмещение плоскости треугольника АВС с плоскостью уровня Р

 

Задача 2. Определить высоту пирамиды SABC и натуральную величину треугольника SKA.

Высота пирамиды определяется высотой перпендикуляра, проведенного из вершины S на плоскость основания АВС. Для решения задачи применяем положение из геометрии. Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, которые лежат в этой плоскости. В условиях объемной геометрии прямой угол можно построить без искажения в двух случаях, если обе стороны угла параллельны какой-либо плоскости проекций (рисунок 6.4, а) Второй случай – если одна из сторон прямого угла параллельна какой-либо плоскости проекций, то на эту плоскость прямой угол проецируется без искажения (рисунок 6.4 б). Таким образом, прямой угол можно провести между прямой уровня (горизонтальная, фронтальная) и прямой общего положения. Следовательно, если прямая общего положения перпендикулярна плоскости, то ее проекции перпендикулярны одноименным проекциям линий уровня (рисунок 6.5).

Рисунок 6.4 − Проекции прямого угла: а) стороны угла параллельны Н, б) одна из сторон параллельна горизонтальной плоскости проекций

Рисунок 6.5 − Перпендикуляр к плоскости общего положения

 

Решение задачи на определение высоты пирамиды показано на рисунке 6.6. Последовательность решения задачи: 1) проводим из вершины пирамиды точки S перпендикуляр к плоскости АВС; 2) находим точку пересечения перпендикуляра с плоскостью основания; 3) определяем натуральную величину перпендикуляра методом вращения.

Из точки S проводим перпендикуляр к плоскости АВС следующим образом, в плоскости АВС проводим горизонталь (BN) и фронталь (AM). Горизонтальная проекция перпендикуляра перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали − am, а фронтальная проекция перпендикуляра перпендикулярна фронтальной проекции фронтали − n'b'.

Рисунок 6.6 − Пример решения задачи 2

 

Основание перпендикуляра – точка К определяется как точка пересечения прямой с плоскостью. Для этого заключаем перпендикуляр во вспомогательную фронтально-проецирующую плоскость R. Плоскость R пересекает плоскость основания АВС по прямой линии 1 – 2. В свою очередь, прямая 1 – 2 пересекаясь с перпендикуляром, проведенном из точки S, дает нам искомую точку К.

Натуральную величину перпендикуляра определим методом вращения вокруг осей, перпендикулярных плоскостям проекций. Повернем фронтальную проекцию s'k' до положения, параллельного горизонтальной плоскости проекций (положение s'k'₀). Точка S при вращении неподвижна, т.к. через нее проходит ось вращения, горизонтальная проекция точки К будет перемещаться по прямой, перпендикулярной оси вращения до положения k₀. Отрезок sk₀ является натуральной величиной перпендикуляра SK.

Натуральную величину треугольника ASK определим методом триангуляции. Для решения необходимо знать натуральные величины сторон AS и AK, которые определены способом плоскопараллельного перемещения. Фронтальные проекции a's' и a'k' расположили параллельно горизонтальной плоскости проекций (положения a'₁s'₁ и a'₁k'₁), при этом горизонтальные проекции сторон переместятся по горизонтальной траектории. Отрезки a₁s₁ и a₁k₁ являются натуральной величиной AS и AK.

Задача 3. Определить угол между гранями пирамиды SAB и ABC и натуральную величину треугольника SAB (рисунок 4.7).

Рисунок 6.7 − Пример решения задачи 3

 

Угол между двумя плоскостями определяется линейным углом, полученным при сечении заданных плоскостей третьей плоскостью, которая перпендикулярна этим плоскостям. Задачу предлагается решить, используя метод плоскопараллельного перемещения. Преобразуем плоскости общего положения в проецирующие.

Первое преобразование. Переместим плоскости так, чтобы ребро АВ заняло положение, параллельное горизонтальной плоскости проекций. На рисунке 6.7 показано, что при таком перемещении фронтальная проекция АВ (a'b') расположилась параллельно оси ОХ, отрезки a'₁s'₁, s'₁b'₁, b'₁c'₁ и a'₁c'₁ подобны соответственно отрезкам a's', s'b', b'c' и a'c'. При таком преобразовании горизонтальные проекции точек А, В, С и S переместятся параллельно оси ОХ и займут положение a₁, b₁, c₁ и s₁.

Второе преобразование. Переместим плоскости так, чтобы ребро АВ заняло положение перпендикулярно V. На рисунке 6.7 показано, что при таком преобразовании горизонтальная проекция a₂b₂ расположится перпендикулярно оси ОХ. Отрезки a₂b₂, b₂c₂, a₂c₂ и a₂s₂ подобны отрезкам a₁b₁, b₁c₁, a₁c₁ и a₁s₁. Фронтальные проекции точек А, В, С и S переместятся параллельно оси ОХ и займут положение a'₂, b'₂, c'₂ и s'₂. Ребро АВ отобразится на фронтальной плоскости проекций в виде точки. Угол a, составленный проекциями a'₂, b'₂, c'₂ и s'₂ будет определять линейный угол при ребре АВ.

Натуральную величину треугольника АВS определим, если повернем его до положения, параллельного горизонтальной плоскости проекций (положение a'₂b'₂s'₃). Тогда горизонтальная проекция вершины S переместится в положение s₃ и треугольник a₂b₂s₃ определит натуральную величину АВS.

Задача 4. Определить расстояние от вершины пирамиды S до стороны основания АС и натуральную величину грани SAС (рисунок 6.8).

Расстояние от точки до прямой определяется длиной перпендикуляра, проведенного от точки до заданной прямой. На пространстве прямая занимает общее положение, поэтому на чертеже нельзя провести перпендикуляр без преобразования проекций. Преобразуем ребро АС в положение, перпендикулярное плоскости проекций.

Рисунок 6.8 − Пример решения задачи 4

 

Повернем прямую АС в положение, параллельное фронтальной плоскости проекций. Ось вращения проведем перпендикулярно Н через точку А. На чертеже это соответствует положению ас₁. При этом фронтальная проекция точки С переходит в положение с'₁. Вместе с АС вращается точка S, ее новое положение s₁ и s'₁. Преобразуем прямую АС в положение, перпендикулярное горизонтальной плоскости проекций., для этого повернем точку А вокруг оси, перпендикулярной V. Ось вращения провели через точку С. При вращении фронтальная проекция точки А повернется до положения a'₂, а горизонтальная проекция а₂ совпадет с точкой с₁. На такой же угол повернется точка S (новое положение s₂ и s'₂). Длина отрезка s₂a₂ определит натуральную величину перпендикуляра, проведенного из вершины пирамиды к ребру АС.

Для определения натуральной величины грани SAC необходимо знать длину ребра SC, т.к. длины ребер АС и SA уже известны. Преобразуем ребро SC в положение, параллельное фронтальной плоскости проекций. Для этого повернули горизонтальную проекцию s₂с₁ в положение, параллельное оси ОХ. Новое положение s'₃с'₁ определит натуральную величину ребра SC. Треугольник s'₃a'₂c'₁ является натуральной величиной грани SAC.

Задача 5. Определить величину угла между ребром AS и плоскостью основания пирамиды АВС.

Угол между прямой AS (рисунок 6.9) и плоскостью АВС является острый угол b, составленный этой прямой и ее проекцией на заданную плоскость.

Рисунок 6.9 − Угол между прямой и плоскостью

 

При решении задачи определяем угол a, а угол b равен разнице 90⁰ −a, т. к. сумма углов в прямоугольном треугольнике равна 180⁰.

Решение задачи показано на рисунке 6.10. Из вершины S проводим перпендикуляр к плоскости АВС так, как это описано в решении задачи 4. Для нахождения точку К (основания перпендикуляра) проводим через точку А плоскость Р, которая параллельна плоскости Н. На чертеже эта плоскость представлена фронтальным следом P_V. Вращением вокруг линии уровня АК определим натуральную величину a (ASK). При вращении вершины S ее горизонтальная проекция будет перемещаться по прямой линии, которая перпендикулярна оси вращения (ak).

Рисунок 6.10 − Пример решения задачи 5

 

На рисунке 6.10 отрезок sk – горизонтальная проекция радиуса вращения, s'k' – фронтальная. Точка О – центр вращения. Натуральную величину радиуса вращения определим методом прямоугольного треугольника. Положение угла as₀k является совмещенным с плоскостью, параллельной горизонтальной плоскости проекций, и поэтому отобразится в натуральную величину. Угол b, который выражает величину угла между прямой AS и гранью пирамиды АВС, определим, если угол a дополним до прямого угла.

Задача 6. Определить натуральную величину граней SAB и SCB.Используем метод замены плоскостей проекций (рисунок 6.11). Натуральную величину грани SBC определим, если преобразуем ее в положение, параллельное новой горизонтальной плоскости проекций Н₂.

Рисунок 6.11 − Пример решения задачи 6

Натуральную величину грани SAC определим, например, преобразовав плоскости проекций так, чтобы грань ASC стала параллельна новой фронтальной плоскости проекций V₂.

Задача многовариантная, поэтому при ее решении рекомендуется вводить новые плоскости проекций, исходя из компоновки чертежа.

Задача 7. Построить полную развертку пирамиды SABC.

Разверткой пирамиды является плоская фигура, полученная путем последовательного совмещения граней пирамиды с плоскостью чертежа. Решая задачи 1¸6, мы уже определили натуральные величины ребер пирамиды, собирая которые в треугольники, можно получить полную развертку заданной пирамиды (рисунок 6.12).

Рисунок 6.12 − Пример построения развертки пирамиды

Задача 8. Методом замены плоскостей проекций определить расстояние между ребрами пирамиды АВ и SC.

Ребра пирамиды АВ и CS являются скрещивающимися прямыми, поэтому решение задачи сводится к тому, чтобы одно из ребер преобразовать в положение, перпендикулярное одной из плоскостей проекций. На рисунке 6.13 методом замены плоскостей проекций ребро АВ преобразовано в положение, перпендикулярное новой горизонтальной плоскости проекций Н₁.

Рисунок 6.13 − Пример решения задачи 8

 

Первое преобразование – вводим новую фронтальную плоскость проекций параллельно АВ (на чертеже новая ось параллельна ав). Вторым преобразованием вводим новую плоскость Н₁ перпендикулярно АВ. Из полученной проекции a₁b₁ проводим перпендикуляр к c₁s₁, расстояние k₁m₁ – это расстояние между АВ и SC. Проекции точек К и М необходимо поднять на заданные проекции ребер пирамиды.