РАЗДЕЛ XI: НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.

11.1. Определение и свойства:

Определение:

Функция называется первообразной функции в промежутке , если в каждой точке этого промежутка выполняется равенства: или

Определение:

Совокупность всех первообразных функции в называется неопределенным интегралом от этой функции в данном промежутке.

Обозначение: .

Основные свойства неопределенного интеграла:

6. Если то , где - любая непрерывно - дифференцируемая функция.

1.2 Таблица дифференциалов и интегралов:

Таблица интегралов	Таблица дифференциалов
1.	1.
2.	2.
3.	3.
4.	4.
5.	5.
6.	6.
7.	7.
8.	8.
9.	9.
10.	10.
11.	11.
12.	12.
13.	13.
14.	14.
15.	15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22. 23.

11.3 Общие методы интегрирования:

1. Непосредственное интегрирование: подинтегральное выражение преобразуют так, чтобы заданный интеграл можно было представить в виде одного или алгебраической суммы нескольких табличных интегралов.

2. Способ подстановки: вводят новую переменную интегрирования, так чтобы интеграл с новой переменной или был бы табличным или брался бы одним из известных способов, т.е. .

Алгоритм вычисления :

1) Вводим новую переменную интегрирования .

2) Представляем заданное подынтегральное выражение в переменных и .

3) Берем интеграл с новой переменной.

4) В полученной первообразной заменяем переменную на .

Применяется в случае:

- если , то ;

-если , то ;

- если , то ;

- если - действительные числа , - любое , , то .

3. Интегрирование по частям:

Применяется при интегрировании специально подобранных функций.

- формула интегрирования по частям, где - непрерывно - дифференцируемы при всех рассматриваемых .

Алгоритм нахождения :

1) Разбиваем заданное подынтегральное выражение на два множителя и .

2) Находим и .

3) К заданному интегралу применяем формулу .

Классы функций, интегрируемых по частям:

1 класс: ,

Здесь - , где - многочлен любой степени, кроме нуля, - любое ненулевое действительное число.

2 класс: ,

Здесь - , где - многочлен любой степени, включая нулевую, - любое ненулевое действительное число.

3 класс: , где - любое ненулевое действительное число.

Здесь выбор безразличен.

Замечания:

1) при нахождении интегралов первого класса формулу интегрирования по частям применяют столько раз, какова степень данного многочлена .

2) Нахождение интегралов третьего класса в итоге сводится к решению уравнения относительно заданного интеграла.

4. Интегрирование рациональных дробей:

Алгоритм нахождения :

- Проверяем, является ли заданная рациональная дробь правильной, если дробь неправильная, то представляем ее в виде суммы целой части и правильной рациональной дроби (для этого в общем случае делим числитель на знаменатель, в частности используем формулы сокращенного умножения)

- Раскладываем правильную рациональную дробь на сумму простейших методом неопределенных коэффициентов.

Определение: правильные рациональные дроби вида

, где - любые действительные числа

, где - любые действительные числа,

, где

называются простейшими дробями 1-4 типов.

Алгоритм представления правильной рац. дроби в виде суммы простейших дробей:

- каждому простому действительному корню знаменателя соответствует одна дробь ;

- каждому кратному действительному корню знаменателя соответствуют одна дробь и дробь:

- каждой простой паре комплексно-сопряженных корней знаменателя соответствует одна дробь ;

- каждой - кратной паре комплексно-сопряженных корней знаменателя соответствуют дробь и дробь:

Алгоритм нахождения коэффициентов разложения правильной рац. дроби:

- приводим правую часть разложения к общему знаменателю, получаем тождественное равенство двух дробей с одинаковыми знаменателями;

- отбрасываем эти знаменатели, получаем тождество из числителей;

- в последнем тождестве последовательно придаем значения действительных корней знаменателя исходной дроби, если они есть, а затем нужное число раз сравниваем коэффициенты при одинаковых степенях . Получаем СЛАУ относительно искомых коэффициентов;

- решив СЛАУ, находим коэффициенты и ,значит, само разложение;

- Интегрируем простейшие дроби и, если есть, целую часть: