Энергия связи

При уменьшении расстояния между атомами энергия системы понижается по сравнению с суммарной энергией изолированных атомов. При некотором межатомном расстоянии r = r₀ энергия U (r) достигает минимального значения, которое соответствует силе F:

 

.

 

Этот минимум обязательно существует; в противном случае вообще не смогла бы образоваться молекула с конечным расстоянием между ядрами.

При дальнейшем сближении атомов между ними начинают действовать силы отталкивания, быстро возрастающие с уменьшением r, что сопровождается также возрастанием потенциальной энергии U(r).

Смена притяжения отталкиванием может быть приближенно описана путем представления полной потенциальной энергии взаимодействия в виде суммы двух членов, из которых один (отрицательный) соответствует энергии сил притяжения, а другой (положительный) — энергии сил отталкивания:

 

.

 

На рисунке 1.15 схематически изображены кривые этих потенциалов и суммарная кривая, соответствующая полной потенциальной энергии взаимодействия. При межатомном расстоянии r = r₀, соответствующем минимуму энергии системы, силы притяжения уравновешиваются силами отталкивания ( ). Вблизи положения равновесия форма кривой U = U(r) близка к параболе. Это видно из разложения U (r) в ряд Тейлора в окрестности r = r₀:

При не слишком больших отклонениях атома от положения равновесия (когда третьим членом в разложении потенциальной энергии в ряд можно пренебречь) возвращающая сила пропорциональна расстоянию, и атомы колеблются как гармонические осцилляторы. Энергетические уровни такого осциллятора, как это следует из квантовой механики, могут быть получены из следующего выражения:

 

.

 

Потенциальную энергию сил притяжения, исходя из их электростатического характера, можно представить степенной функцией

 

, (1.4)

 

где а, т — положительные константы.

При т = 1 потенциал (1.4) соответствует обычному кулоновскому взаимодействию между противоположно заряженными ионами, а при т = 6 — потенциалу притяжения при взаимодействии между атомами инертных газов.

Для потенциала сил отталкивания Борн и Ланде, исходя из классических представлений, получили выражение

 

, (1.5)

 

где b, n > 0 — постоянные;

r — расстояние между центрами взаимодействующих атомов.

Квантово-механический расчет, выполненный Борном и Майером, привел для потенциала сил отталкивания к полуэмпирическому выражению, которое лучше согласуется с экспериментом:

 

, (1.6)

 

где b и r – постоянные.

Выражение для полной потенциальной энергии взаимодействия двух атомов в виде

 

. (1.7)

Энергия связи кристалла представляет собой энергию, которая необходима для разделения тела на составные части.

Квантово-механический расчет сил притяжения для системы из двух идентичных гармонических осцилляторов, находящихся на расстоянии r один от другого, был выполнен Г. Лондоном (1930). Было получено, что полная энергия двух взаимодействующих осцилляторов уменьшается из-за взаимодействия на величину, обратно пропорциональную шестой степени расстояния между ними:

 

, (1.8)

 

где w₀ - собственная частота гармонического осциллятора;

—постоянная Планка;

a = Р/Е — поляризуемость осциллятора (атома);

Р - дипольный момент;

Е - напряженность электрического поля;

а - постоянная.

Полную потенциальную энергию взаимодействия между двумя атомами, находящимися на расстоянии r, друг от друга, можно записать в виде

 

,

 

где а и b — положительные постоянные.

Задачи

 

1. Определить число атомов, приходящихся на одну элементарную ячейку:

1) примитивной решетки кубической сингонии

2) объемноцентрированной решетки ромбической сингонии

3) гранецентрированной решетки кубической сингонии

4) базоцентрированной решетки ромбической сингонии

5) примитивной решетки гексагональной сингонии

6) гексагональной структурой с плотной упаковкой.

 

2. Найти плотность кристалла стронция, если известно, что решетка гранецентрированная кубической сингонии, а расстояние между ближайшими соседними атомами равно 0,43 нм.

 

3. Определить относительную атомную массу кристалла, если известно, что расстояние между ближайшими соседними атомами равно 0,304 нм. Решетка объемно-центрированная кубической сингонии. Плотность кристалла r равна 534 кг/м³.

 

4. Найти постоянную решетки и расстояние между ближайшими соседними атомами кристалла:

1) алюминия (решетка гранецентрированная кубической сингонии)

2) вольфрама (решетка объемно-центрированная кубической сингонии).

 

5. Используя метод упаковки шаров, найти отношение с/а параметров в гексагональной решетке с плотнейшей упаковкой. Указать причины отклонения этой величины в реальном кристалле от вычисленного.

 

6. Вычислить постоянную решетки кристалла бериллия, который представляет собой гексагональную структуру с плотной упаковкой. Параметр решетки равен 0,359 нм. Плотность кристалла бериллия равна 1,82×10³ кг/м³.

 

7. Написать индексы направления прямой, проходящей через два узла с кристаллографическими индексами:

1) [[123]] и [[321]];

2) [[121]] и [[201]].

 

8. Написать индексы Миллера для плоскостей, содержащих узлы с кристаллографическими индексами в двух случаях:

1) [[1 1 1 ]], [[1`1 2]], [[`1 0 1 ]];

2) [[1`1 1]], [[0 1 0]], [[`1`1 1 ]].

Найти отрезки, отсекаемые этими плоскостями на осях координат.

 

9. Определить параметр а примитивной кубической решетки, если межплоскостное расстояние d для системы плоскостей, заданных индексами Миллера (212), при рентгеноструктурном измерении оказалось равным 0,12 нм.