Структурная схема фильтров с бесконечной импульсной характеристикой

Фильтры с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-фильтры, IIR-фильтры (Infinite Impulse Response Filter)) длиной N в общем случае описываются следующим разностным уравнением [11]:

 

, (2.1)

 

из которого можно выразить текущее значение выходного сигнала:

 

. (2.2)

 

Это представление определяет выход БИХ-фильтра как функцию предыдущих отсчетов выходного сигнала, а также текущего и предыдущих отсчетов входного сигнала.

Простейшим примером БИХ-фильтра является цифровое инерционное звено. Передаточная функция инерционного звена для систем непрерывного времени имеет вид:

 

.

 

Соответствующее дифференциальное уравнение имеет вид:

 

.

 

Если производную заменить первой разделенной разностью:

 

,

 

то получим рекуррентное уравнение, описывающее соответствующую систему дискретного времени:

 

.

 

или

 

.

 

Из полученного выражения можно получить формулу для определения текущего значения выходного сигнала (рис. 2.1):

 

.

 

КИХ-фильтры являются частным случаем БИХ-фильтров, для которых

 

(2.3)

 

Передаточной функцией БИХ-фильтра является дробно-рациональная функция:

Рис. 2.1. Импульсная переходная характеристика и АЧХ цифрового инерционного звена

. (2.4)

 

Существует несколько структур реализации БИХ-фильтров.

БИХ-фильтры обычно реализуются с помощью звеньев второго порядка, которые называют биквадратными фильтрами, потому что они описываются биквадратными уравнениями в z-области. Фильтры высокого порядка проектируют, используя каскадирование биквадратных звеньев или их параллельное соединение.

В каскадной форме передаточная функция в равенстве (2.4) факторизуется (разбивается) на произведение передаточных функций секций 2-го порядка:

 

; (2.5)

 

где

 

; (2.6)

 

Вся система представляет собой каскад таких секций (рис. 2.2). Выход предыдущей секции является входом следующей:

Рис. 2.2. Каскадная форма реализации БИХ-фильтра длиной N

 

Рис. 2.3. Параллельная форма реализации БИХ-фильтра длиной N

Рис. 2.4. Прямая форма I реализации БИХ-фильтра длиной N

 

 

. (2.7)

 

При использовании параллельной формы передаточная функция в равенстве (2.4) представляется как сумма передаточных функций секций 2-го порядка:

 

; (2.8)

 

где

 

; (2.9)

 

 

. (2.10)

 

Вся система представляет собой параллельное соединение таких секций (рис. 2.3). Параллельная реализация требует использования многопроцессорной системы.

При использовании каскадной или параллельной реализации БИХ-фильтра каждая из биквадратных секций реализуется в прямой форме. В ней точно реализуется разностное уравнение (2.2). Разностное уравнение содержит две части, а именно КИХ-фильтр и рекурсивную или части числителя и знаменателя передаточной функции, поэтому эта реализация имеет две версии: прямая форма I и прямая форма II.

Прямая форма I реализации БИХ-фильтра длиной N представлена на рис. 2.4.

Прямая форма II реализации БИХ-фильтра длиной N является эквивалентной схемой прямой формы I (рис. 2.5). В этом случае передаточная функция БИХ-фильтра преобразуется с использованием вспомогательной переменной :

 

, (2.11)

 

где – предсказательная часть;

 

– обратная связь.

Соответствующие разностные уравнения имеют вид:

 

; (2.12)

 

. (2.13)

 

В этом случае необходимо хранить только переменную , что в два раза сокращает объем необходимой для хранения данных памяти.

Рис. 2.5. Прямая форма II реализации БИХ-фильтра длиной N