Решение.

Из треугольника АВМ (1):

Аналогичные вычисления выполняем в треугольнике ВСМ (2):

ХМ(2) = 4287,7594 м ; YM(2) = 4488,9353 м.

В результате получены невязки в координатах:

fX = XM(1) – XM(2) = 0,0054 м; fY = YM(1) YM(2) =0,0074 м; fАБС = 0,00916 м.

Значение fАБС является критерием качества решения задачи привязки.

При допустимом значении абсолютной невязки вычисляют среднее значение координат точки М: ХМ = 4287,762 м ; YM = 4488,939 м.

Выполним оценку точности засечки по формулам (90) – (91), приняв mβ = 2,0".

Из решения обратной геодезической задачи с точностью до 1 м вычислим значения

S 1 ≈ 513 м, S2 ≈ 531 м, S3 ≈ 497 м.

Значения sin для оценки точности округлим до 0,50.

.

.

Средняя погрешность засечки .

Здесь следует сделать некоторые замечания.

Вычислим дирекционный угол направления MN.

Из решения обратной геодезической задачи по координатам точек В и М вычислим значение дирекционного угла направления ВМ:

 

Часто видимость между пунктами А – В и В – С может отсутствовать. В этом случае возможно использование другой схемы прямой угловой засечки (рис. 67 б), решение которой выполняется по формулам Гаусса (тангенсов или котангенсов).

Формулы тангенсов:

, (92)

(93)

Формулы котангенсов:

, (94)

(95)

Для контроля выполняют аналогичную привязку с точек В и С.

Значения дирекционных углов в приведенных формулах получают в результате решения азимутальной привязки от соответствующих исходных направлений:

αАМ = αАD ± β1 , (96)

αBМ = αBE ± β2 , (97)

αCМ = αCF ± β3 (98)

Знак «плюс» - для левых по ходу углов, знак «минус» - для правых по ходу углов. На схеме рис. 61 б горизонтальные углы – левые по ходу.

При использовании для вычислений микрокалькуляторов формулы тангенсов не следует применять, если дирекционные углы близки к 90о ± 5о или 270о ± 5о, а формулы котангенсов – если дирекционные углы близки к 0о ± 5о или 180о ± 5о. Это обязательно следует проверить и, при возможности, перейти к другим построениям. В любом случае использование приведенной схемы привязки необходимо начинать с вычисления (или с оценки) величин дирекционных углов.

 

13.2. Способ обратной угловой засечки

 

Привязка способом обратной угловой засечки может быть выполнена по трем исходным геодезическим пунктам, если определяемая точка не лежит на окружности, описанной по ним. Оптимально, когда определяемая точка находится внутри треугольника (рис. 68 а).

При удалении точки М от опасной окружности на 10% ее радиуса уже обеспечивает решение задачи определения координат искомой точки. Для графической оценки положения точки М составляют схему привязки и контролируют выполнение условия .

Следует иметь ввиду, что в данном случае не обеспечивается надежный контроль привязки, поэтому целесообразно использовать для решения указанной задачи четыре исходных пункта, т.е. в определяемой точке необходимо еще измерить угол β3 на исходный пункт D.

Координаты точки М находят по формулам С.Г.Морозкова:

, (99)

, (100)

где ;

;

; .

;

 

Рис. 68. Обратная угловая засечка.

Схема обратной угловой засечки (а). Построение инверсионных треугольников (б)

 

При наличии четвертого пункта (D) координаты точки М могут быть получены дважды: при использовании пунктов D, A и B и при использовании пунктов А, В и С. При этом может оказаться, что точность определения координат будет различной, в связи с чем целесообразно установить, относительно каких пунктов следует определять координаты точки М, а какой из пунктов будет контрольным. Указанная задача решается методом инверсионных треугольников.

Построение инверсионных треугольников выполняется на графической схеме привязки, построенной в произвольном масштабе длин, но с таким расчетом, чтобы отрезки S были не менее 6 – 7 см. На этих отрезках откладывают в принятом масштабе значения параметров qi (градиентов):

. (101)

Получают соответствующие инверсионные треугольники: 123 – для пунктов D, A и B и 234 – для пунктов А, В и С (рис. 68 б). Из точек 1, 2, 3 и 4 опускают высоты hi на соответствующие стороны и графически, в масштабе q, получают их значения.

Графическая оценка точности выполняется по формулам:

; , (102)

где М – средняя квадратическая погрешность определения координат точки М; mβ – средняя квадратическая погрешность измерения углов.

По минимальной величине М выбирают исходные пункты для вычисления координат по формулам (99) и (100).

Иногда координаты определяют два раза, по двум группам из трех исходных пунктов, а оценку погрешности выполняют по средней ее величине, как это делалось в предыдущих способах.

Контроль вычислений по четвертому исходному пункту выполняют сравнением измеренного горизонтального угла (или углов, если пунктов более четырех) с вычисленным его значением. Например, если контрольное направление выбрано на пункт D, то сравнивают

(103)

с тем же горизонтальным углом, измеренным в поле. Разница в полученных углах является критерием качества привязки. Для теодолитных ходов указанная разница не должна превышать 1'.

Передача дирекционного угла на определяемую линию MN выполняется с учетом значения горизонтального угла β4 (правого или левого по ходу).

Аналитическая оценка точности определения координат точки М (линейная погрешность mM) может быть получена по формуле

, (104)

где при использовании пунктов А, В и С; S и L определяют из решения обратной геодезической задачи.

Пример. Привязка по способу обратной угловой засечки.

Исходные данные (схема рис. 68):

XA = 5535,793 м ; ХВ = 5633,352 м ; ХС = 2490,280 м ; ХD = 2385,336 м

YА = 3733,771 м ; YВ = 7984,056 м ; YС = 8879,172 м ; YD = 3694,242 м

β1 = 84о41'48" ; β2 = 81о13'25" ; β3 = 138о50'16" ; β4 = 32о36'18"