Решение задач по теме «Системы счисления»

№1. Чему равна сумма чисел 57₈ и 46₁₆?

1) 351₈

2) 125₈

3) 55₁₆

4) 75₁₆

Решение:

1 способ

Представим числа в двоичной системе счисления. Метод перевода числа из восьмеричной и шестнадцатеричной системы в двоичную описан в этой статье.

Каждая цифра 8-чной системы соответствует 3 цифрам двоичной системы.

57₈ содержит 2 цифры: 5 и 7. 5=101₂. 7=111₂. 57₈=101 111₂=101111₂

Каждая цифра 16-чной системы соответствует 4 цифрам двоичной системы.

46₁₆ содержит цифры 4 и 6. 4=0100₂. 6=0110₂. 46₁₆=100 0110₂=1000110₂

Сумма равна:

Если Вы не знаете, как складывать числа в двоичной системе, прочтите статью: "Выполнение арифметических операций в двоичной системе счисления".

Переведем 1110101₂ в 8-чную и 16-чную систему счисления:

1 110 101₂=165₈

111 0101₂=75₁₆-подходит.

2 способ

Переведем числа в 10-чную систему счисления.

57₈=5*8+7=47

46₁₆=4*16+6=70

57₈+46₁₆=47+70=117

Переводим 117 в 8-чную и 16-чную систему счисления:

 

117 | 8 _

8 14 | 8__

37 8 1

32 6

 

117=165₈-не подходит, такого ответа в списке ответов нет.

117 | 16

112 7

117=75₁₆-подходит.

 

№2. Вычислите сумму чисел X и Y, если X=110111₂ Y=135₈

Результат представьте в двоичном виде.

1)11010100₂
2)10100100₂
3)10010011₂
4)10010100₂

Решение:

Представим число Y в двоичной системе счисления. Метод перевода числа из восьмеричной системы в двоичную описан в этой статье.

Каждая цифра 8-чной системы соответствует 3 цифрам двоичной системы.

135₈ содержит 3 цифры: 1,3,5. 1=001₂. 3=011₂. 5=101₂.135₈=001 011 101₂=1011101₂

Сумма равна:

 

№3. Чему равна сумма чисел 43₈ и 56₁₆?

1)121₈
2)171₈
3)69₁₆
4)1000001₂

Решение:

1 способ:

Представим числа в двоичной системе счисления. Метод перевода числа из восьмеричной и шестнадцатеричной системы в двоичную и обратно описан в этой статье.

Каждая цифра 8-чной системы соответствует 3 цифрам двоичной системы.

43₈ содержит 2 цифры: 4 и 3. 4=100₂. 3=011₂. 43₈=100 011₂=100011₂

Каждая цифра 16-чной системы соответствует 4 цифрам двоичной системы.

56₁₆ содержит цифры 5 и 6. 5=0101₂. 6=0110₂. 56₁₆=101 0110₂=1010110₂

Сумма равна:

Переведем 1111001₂ в 8-чную систему счисления. Каждая цифра 8-чной системы соответствует 3 цифрам двоичной системы. Поэтому нужно добавить впереди 2 незначащих нуля: 001 111 001₂.

001 111 001₂=171_8.

Переведем 1111001₂ в 16-чную систему счисления. Каждая цифра 16-чной системы соответствует 4 цифрам двоичной системы. Поэтому нужно добавить впереди 1 незначащий нуль: 0111 1001₂.

0111 1001₂=79₁₆

Из трех вариантов подходит:171_8.

 

№4. Выполнить сложение и вычитание в двоичной системе:

 

№5. Выполнить умножение и деление в двоичной системе:

 

№6. Пример: 10010111 / 101

Ищем число, от старшего разряда которое первое было бы больше чем делитель. Это четырехразрядное число 1001. Оно выделено жирным шрифтом. Теперь необходимо подобрать делитель выделенному числу. И здесь мы опять выигрываем в сравнении в десятичной системой. Дело в том, что подбираемый делитель это обязательно цифра, а цифры у нас только две. Так как 1001 явно больше 101, то с делителем всё понятно это 1. Выполним шаг операции.

-

Итак, остаток от выполненной операции 100. Это меньше чем 101, поэтому чтобы выполнить второй шаг деления, необходимо добавить к 100 следующую цифру, это цифра 0. Теперь имеем следующее число:

-

1000 больше 101 поэтому на втором шаге мы опять допишем в частное цифру 1 и получим следующий результат (для экономии места сразу опустим следующую цифру).

-
	-

Третий шаг. Полученное число 110 больше 101, поэтому и на этом шаге мы запишем в частное 1. Получиться так:

-
	-
			-

Полученное число 11 меньше 101, поэтому записываем в частное цифру 0 и опускаем вниз следующую цифру. Получается так:

-

-

-

Полученное число больше 101, поэтому в частное записываем цифру 1 и опять выполняем действия. Получается такая картина:

-

-

-

-

Полученный остаток 10 меньше 101, но у нас закончились цифры в делимом, поэтому 10 это окончательный остаток, а 1110 это искомое частное.

 

№7. Выполнить сложение восьмеричных чисел 764 и 365.

 

Решение. Запишем числа друг под другом, выровняв их одноимённые разряды:

						(переносы)
+						(первое число)
					(второе число)
						(результат)

Проверим вычисления переводом слагаемых и результата в десятичное представление:

764₈ = 500₁₀,

365₈ = 245₁₀,

1351₈ = 745₁₀,

500₁₀ + 245₁₀ = 745₁₀, что подтверждает правильность вычислений.

Ответ. 1351.

 

№8. Сложить числа 73,27₈ и 5,134₈.