Третье достаточное условие экстремума и перегиба.

Теорема 9.9. Пусть

- n ³ 1 – целое число

- функция имеет производную порядка n в некоторой окрестности точки с и производную порядка n + 1 в самой точке с

- справедливы следующие соотношения:

(2)

Тогда, если n является четным числом, график функции имеет перегиб в точке M(c, f(c)). Если же n является нечетным числом и, кроме того, , функция имеет локальный экстремум в точке с, точнее, локальный минимум при и локальный максимум при .

Доказательство.(для случая экстремума)

Пусть n ³ 1 является нечетным числом и . Т. к. при n = 1 теорема совпадает с Теоремой 9.2, то достаточно провести доказательство для нечетного n ³ 3. Для определенности проведем рассуждения для случая . Для случая они проводятся аналогично.

Из условия и из Теоремы 8.9 (Теорема 8.9. Если функция f(x) дифференцируема в точке с и , то эта функция возрастает (убывает) в точке с.), примененной к вытекает, что эта функция возрастает в точке с. Т. к., кроме того, , то это означает, что найдется достаточно малая окрестность точки с, в пределах которой отрицательна слева от с и положительна справа от с. Разложим f’(x) в окрестности точки с в ряд Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Мы получим, что для всех x из достаточно малой окрестности точки с между с и x найдется точка x такая, что

(3)

Соотношения (2) и условие позволяют переписать (3) в виде

(4)

Т. к. x всегда лежит между c и x, то для всех x из достаточно малой окрестности точки с производная отрицательна при и положительна при . При нечетном n число n – 1 является четным, а поэтому вся правая (а, следовательно, и левая) часть (4) для всех x из достаточно малой окрестности с отрицательна слева от с и положительна справа от с.

На основании Теоремы 9.1 это означает, что функция f(x) имеет локальный минимум в точке с.

Случай рассматривается совершенно аналогично.