Второе достаточное условие экстремума.

Теорема 9.2. Пусть функция f(x) имеет в данной точке с возможного экстремума конечную вторую производную.

Тогда f(x) имеет в точке с максимум, если , и минимум, если .

Доказательство. Из условия и из Теоремы 8.9 (Теорема 8.9. Если функция f(x) дифференцируема в точке с и , то эта функция возрастает (убывает) в точке с.) вытекает, что f’(x) убывает (возрастает) в точке с. Поскольку по условию f’(с) = 0, то найдется такая окрестность точки с, в пределах которой слева от с и справа от с. Тогда по Теореме 9.1 f(x) имеет в точке с максимум (минимум).