Процедура решения задачи

1. Используя алгоритм Ньютона, найти точку х k, в которой выполняется по крайней мере один критерий окончания расчета.

2. Так как f (х ) ∈ С 2, то осуществить проверку выполнения достаточных условий минимума H (х k) > 0. Если условие выполнено, то точка х kможет рассматриваться как найденное приближение точки минимума х *. Проверку выполнения достаточных условий минимума можно заменить проверкой функции f (х ) на выпуклость.

Пример 7.1.Найти локальный минимум функции

f (х ) = 2х 12 + х 1х 2 + х 22.

I . Определение точки х k, в которой выполнен по крайней мере один из критериев окончания расчетов.

1. Зададим х 0, ε1, ε2, М : х 0= (0,5; 1) T, ε1= 0,1; ε2= 0,15; М = 10. Найдем градиент функции ∇ f ( x ) = (4 x 1+ х 2; x 1+ 2х 2) Tи матрицу Гессе

2. Положим k = 0.

30. Вычислим ∇ f ( x 0): ∇ f ( x 0) = (3;2,5)Т.

40. Проверим выполнение условия || ∇ f ( x 0)|| ≤ ε1: || ∇ f ( x 0)|| = 3,9 > 0,1. Переходим к шагу 5.

50. Проверим условие k ≥ М : k = 0 < 10. Переходим к шагу 6.

60. Вычислим H ( x 0):

7 0. Вычислим H –1( x 0):

80. Проверим выполнение условия H –1( x 0) > 0. Так как то согласно критерию Сильвестра H –1( x 0) > 0.

90. Определим

100. Вычислим

110. Проверим выполнение условий || x 1 – x 0|| < ε2, | f ( x 1) – f ( x 0) | < ε2

|| x 1 – x 0|| = 1,12 >0,15; | f ( x 1) – f ( x 0) | = 2 > 0,15 .

Полагаем k = 1, переходим к шагу 3.

31. Вычислим ∇ f ( x 1): ∇ f ( x 1) = (0,0) T.

41. Проверим выполнение условия || ∇ f ( x 1)|| < ε1: || ∇ f ( x 1)|| = 0<0,1. Расчет

окончен. Заметим, что в точке х 1выполняется необходимое условие первого порядка, поэтому она является стационарной точкой.

II . Анализ точки х 1.

Функция f (х ) = 2 x 12+ x 1x 2+ х 22является строго выпуклой, так как ее матрица вторых производных в силу того, что ∆1= 4 > 0, ∆2=7 > 0. Найденная точка х 1= (0,0) Tесть точка локального и одновременно глобального минимума f ( x ) .

Рис. 7.2

На рис. 7.2 траектория спуска изображена сплошной линией.