Упражнение 41.

a) Докажите, что если данные n точек плоскости лежат на одной прямой, то найдётся прямая на этой же плоскости, такая что все эти точки лежат строго по одну сторону от неё.

b) Докажите, что на плоскости всегда найдётся точка, отличная от данных n точек (как бы они ни были расположены).

c) Докажите, что каждая из данных n точек плоскости является внутренней точкой для двух пересекающихся в ней отрезков, принадлежащих разным прямым, концы которых отличны от всех этих n точек.

Упражнение 42*.

Докажите, что для любых n точек плоскости всегда существует прямая такая, что все эти точки лежат либо на ней, либо в одной полуплоскости от неё.

(Take any point off this set of n points and draw an arbitrary line. Connect all pairs of points lying in different half planes from this line. Order points of intersection of these segments with this line on this line and draw line through the pair which provides the extreme point of intersection. Prove that this new line serves as the line sought)

Упражнение 43.

Докажите, что для любых n точек плоскости всегда существует прямая такая, что все эти точки лежат строго по одну сторону от неё. (use 41c and the previous result)