Упражнение 39.

Пусть в плоскости a дан простой многоугольник. Если А и В – его внутренние точки, то $ ломаная, лежащая в плоскости a, соединяющая А с В и не имеющая с этим многоугольником общих точек. То же верно, если А и В – его внешние точки.

(Let P consist of broken line Г (unclosed) + segment PQ. Chose RÎPQ and broken lines L_A and L_B from A and B respectively to R using previous exercise. Let UR and VR be the last links in L_A and L_B. Consider triangle URW and apply #34)

Наоборот, если одна из этих точек лежит внутри многоугольника, а вторая снаружи, то любая соединяющая их ломаная пересекает многоугольник. Это просто следует из упражнения №32.

Теперь мы распространим утверждения упражнений 10 и 12 на плоскости в пространстве. Доказательство проходит по тому же сценарию, что и раньше, теми же способами.

Упражнение 40.

Не существует прямой, целиком лежащей внутри (простого) многоугольника.