Решение задач
Задача 1
Z3 = { 
}, Z4 = { 
}. Найти Z3* 
Z4*,построить таблицу Кэли для умножения Z3* Z4*.Является ли Z3* Z4*абелевой группой? Какой мультипликативной группе классов вычетов она изоморфна?
Решение. 1) Построим таблицу Кэли по сложению для групп Z3 = { },
| + | 
| 
| 
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z4 = { }
| + |
|
|
| 
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) Z3*= { 
}, Z4 *= { 
}. Умножение в Z3*и в Z4 *зададим таблицами Кэли
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) Прямое произведение групп Z3* Z4 *={( , ),( , ),( , ),(, )}
|
| ( , )
| ( , )
| ( , )
| (, )
|
| ( , )
| ( , )
| ( , )
| ( , )
| (, )
|
| ( , )
| ( , )
| ( , )
| (, )
| ( , )
|
| ( , )
| ( , )
| (, )
| ( , )
| ( , )
|
| (, )
| (, )
| ( , )
| ( , )
| ( , )
|
4) Элементы таблицы, симметричные относительно диагонали, совпадают, поэтому группа Z3* Z4*является абелевой.
5) Из теории известно, что если (m, n) = 1, то Zm* Zn* 
Zmn*.Поэтому имеем: (3, 4) = 1 
Z3* Z4 * Z12*= { , 
, 
, 
}.
Итак, Z3* Z4 * Z12*= { , , , }.