Математическая статистика

На практике основные характеристики случайных величин нужно находить из экспериментальных данных. Для изучения дискретной случайной величины Х проводится n независимых наблюдений в одинаковых условиях, в результате которых значения х₁ появилось n₁ раз, х₂ появилось n₂ раз, ... , х_k появилось n_к раз (n₁+n₂+...+n_k=n).

Числа х_i называются вариантами, n_i — частотами, — относительными частотами.

Набор значений х_i называется выборкой, а n - ее объемом. Результаты наблюдений сводят в таблицу, называемую выборочным рядом распределения или статистическим распределением.

Варианты	х1	х2	...	хк
Частоты	n1	n2	...	nк
Относительные частоты	w1	w2	...	wк

Для непрерывной случайной величины Х диапазон ее изменений делят на К интервалов (обычно 5< К £20) и подсчитывают количество наблюдений, попавших в каждый интервал. Таблица, в которой приведены интервалы, частоты и относительные частоты, называется интервальным рядом.Чтобы получить представление о плотности вероятностей непрерывной случайной величины f(x) или наглядно представить статистическую информацию строят гистограмму. Гистограмма относительных частот - это ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников. Для ее построения на оси абсцисс отмечаются границы интервалов и на каждом из них как на основании строится прямоугольник высотой где d_i - длина i -ого интервала.

Площадь гистограммы равна При больших n и малых d_i гистограмма относительных частот мало отличается от графика плотности вероятности случайной величины.

 

Пример 18.Произведено n наблюдений над непрерывной случайной величиной. Диапазон ее изменений разбит на 6 интервалов и число наблюдений, попавших в каждый интервал указано в таблице.

 

Интервал	0-2	2-4	4-6	6-8	8-10	10-12
ni

Построить гистограмму относительных частот.

 

Решение.

Определим объем выборки Длина интервалов d=2.

Вычислим относительные частоты w_i и высоты прямоугольников h_i:

w₁=n₁/n= 0,080; h₁=w₁/d=0,040; w₂=0,184; h₂=0,092;

w₃=0,320; h₃=0,160; w₄=0,232; h₄=0,116;

w₅=0,112; h₅=0,056; w₆=0,072; h₆=0,036.

 

Строим гистограмму относительных частот

По данным выборки можно определить такие величины, как выборочное среднее

(29)

и выборочную дисперсию

(30)

- является средним арифметическим наблюдаемых значений x_i и дает статистическую оценку математического ожидания М(х).

Выборочная дисперсия D_в характеризует рассеяние случайной величины относительно , однако она дает заниженную оценку дисперсии изучаемой случайной величины. Поэтому вводят так называемую "исправленную" выборочную дисперсию

(31)

При n>30, можно принять, что s²»D_в, так как расхождение между этими величинами невелико.

Расчеты можно упростить, если использовать метод произведений. Он применим в случае равноотстоящих вариант (х₂-х₁=х₃-х₂=...=х_n- х_n-1=D) и основан на замене первоначальных вариант x_i на условные целочисленные варианты u_i, определяемые по формуле , где с — "ложный нуль", в качестве которого выбирают варианту расположенную примерно в середине вариационного ряда и имеющую большую частоту. При таком выборе и т.д. Затем вычисляют условные моменты и , которые связаны с следующим образом:

При n>30 величину обычно заменяют на единицу.

 

Пример 19. Для приведенного ниже статистического распределения найти выборочное среднее значение и выборочную дисперсию.

 

xi
ni

Решение.

Результаты вычислений удобно заносить в таблицу. В первый и второй столбцы запишем значения х_i и n_i , соответственно. За ложный нуль С примем значение х_i=20 с наибольшей частотой. Условные варианты u_i=( х_i-20)/5 запишем в третьем столбце. В четвертый и пятый столбцы помещаем произведения n_iu_i и n_iu_i²

xi	ni	ui	niui	niui2	ni(ui+1)2
		-2	-12
		-1	-16
	n=100		å=4	å=80	å=188

 

Шестой столбец служит для контроля правильности вычислений.

100+8+80=188, что подтверждает правильность вычислений.

 

Так как выборка состоит из случайных значений, величины и также являются случайным величинами. При больших n они будут близки к M(x) и D(x), соответственно. Однако при малых n возникает вопрос о точности этих оценок.

Пусть или число e>0 характеризует точность оценки, чем оно меньше, тем оценка точнее. Границы интервала - случайные величины, а М(х) - неслучайная величина. Поэтому неверно говорить, что математическое ожидание попадает в данный интервал. Следует говорить, что интервал содержит М(х) или покрывает его.

Надежностью (доверительной вероятностью)называется вероятность того, что указанный интервал содержит математическое ожидание, т.е.

Интервал покрывающий неизвестное математическое ожидание М(х) с заданной надежностью g, называется доверительным интервалом.

Для нормально распределенной случайной величины с заданным средним квадратическим отклонением s точность оценки e определяется по формуле

(32)

где t определяется по таблице значений функций Лапласа из условия

(33)

При больших значениях n (n>30) формулы (32) и (33) также применимы и в случаях, когда неизвестно среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины. При этом вместо s используют значение s , вычисленное по формуле (31).

 

Пример 20.Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания нормально распределенной случайной величины с надежностью g=0,95, если n =64, s =2.

Решение.

Так как n>30, то воспользуемся формулами (32) и (33), подставив вместо s значение s . Ф(t)=0,475. По таблице значений функции Лапласа Ф(t) находим t=1,96. Тогда

доверительный интервал

(8,37-0,49; 8,37+0,49)Þ(7,88; 8,86).