Угловое увеличение микроскопа равно

,(3)

гдеa - угол, под которым виден предмет невооруженным глазом; b-угол зрения при наблюдении предмета через микроскоп.

Выразим угловое увеличение микроскопа через главные фокусные расстояния f₁ и f₂ линз с оптическими центрами О₁ и О₂. Из подобия треугольников АО₁Ви А^/О₁В^/ находим

,отсюда А^/В^/= (4)

Из треугольника А^/О₂В^/найдём

tgb = . (5)

При наблюдении предмета невооруженным глазом с расстояния наилучшего зрения, равным для здорового глаза 25 см,

tga = . (6)

Подставляя ( 5) и (6) в (3) , получим

g_угл= .

Расстояние S практически равно длине тубуса микроскопа D(расстоянию между объективом и окуляром), т.к. применяемые на практике линзы имеют фокусные расстояния примерно равные 1-10 мм, что намного меньше длины тубуса (порядка 160 мм). Поэтому окончательно формулу для углового увеличения микроскопа можно записать так:

g_угл . (7)

Более точное значение увеличения микроскопа находится экспериментально. Для этого служат специальные средства измерения, масштаб шкалы которых известен: объект-микрометр, дифракционная решётка, окулярные микрометры.

Измеряя малые объекты микроскопом, сравнивают размер объекта с некоторой известной длиной (например, расстоянием между штрихами шкалы дифракционной решётки или объект - микрометра). При этом объект и измерительная шкала обычно помещаются в одной плоскости перед объективом. Благодаря совместному и одинаковому увеличению объекта и шкалы возможен точный отсчет размеров объекта по шкале.

Можно и не располагать измерительную шкалу в плоскости исследуемого объекта. Например, с помощью окулярного микрометра можно сформировать изображение измерительной шкалы в плоскости увеличенного изображения А^/В^/. В этом случае изображение объекта и изображение измерительной шкалы будут наблюдаться одновременно в одной плоскости и могут быть сопоставимы друг с другом. При этом необходимо знать увеличение микроскопа, которое определяется заранее.

Помимо линейного и углового увеличений, важной характеристикой микроскопа является его разрешающая способность, то есть способность создавать линзой раздельные изображения двух близких друг к другу точек микрообъекта. Чем ближе расположены два изображения, оставаясь различными (т.е. не сливаясь в одно пятно), тем выше разрешающая способность линзы.

Существуют два главных фактора, ограничивающих разрешающую способность линзы. Первый из них – аберрации линзы. Аберрации присущи всем реальным оптическим системам и заключаются в искажениях изображений, т.е. оптические изображения неточно соответствуют предмету, оказываются размытыми. Так, например, использование сферических поверхностей приводит к возникновению сферических аберраций; различие увеличения для точек, находящихся на разных расстояниях от оси линзы вызывает другую аберрацию, известную как дисторсия; другие причины порождают другие аберрации: астигматизм, кому, кривизну поля и т.д. Кроме того, не монохроматический свет является причиной хроматической аберрации (обусловленной дисперсией света), в результате которой изображения оказываются окрашенными. Тщательно подбирая комбинации линз, можно существенно уменьшить аберрации, хотя полностью исключить их невозможно.

Второй фактор, ограничивающий разрешающую способность,- это дифракция, которую нельзя исправить, так как она является естественным следствием волновой природы света. Рассмотрим этот фактор более подробно, предполагая, что линза не имеет аберраций. Это позволит сосредоточить внимание на дифракционных эффектах и выяснить, в какой мере они ограничивают разрешающую способность.

Известно, что свет распространяется в виде волн. Согласно принципу Гюйгенса любая точка пространства, до которой дошла световая волна, становится источником вторичных сферических волн. Так, если направить пучок параллельных световых лучей на небольшое прозрачное отверстие в экране, то волны за отверстием дифрагируют, т.е. идут уже не параллельно друг другу, а распространяются по всем направлениям. Волны, проходящие через разные участки отверстия, интерферируют между собой и формируют дифракционную картину. Линза из-за наличия у нее краев действует подобно прозрачному экрану. При создании линзой изображения точечного объекта в действительности возникает целая дифракционная картина. Таким образом изображение отдельной точки оказывается размытым. Чем меньше диаметр линзы, тем сильнее выражена дифракция. Из-за дифракции на оправе миниатюрных линз объектива (диаметр которых может быть меньше 1 мм) изображение точки имеет вид системы концентрических колец, яркость которых убывает от центра. На рис.2-а приведена полученная с помощью линзы сильно увеличенная фотография изображения одного точечного источника.

а б

Рис.2 ^[1]

Можно построить графическое распределение интенсивности света поперек дифракционной картины, изображенной на рис 2-а. Примерный график зависимости интенсивности света от углов дифракции j (углов между первоначальным и дифрагировавшим световыми лучами ) приведен на рис.3.

Рис.3

Угловая полуширина центрального максимума j₀определяется теоретически ^[2] выражением

где D - диаметр линзы объектива, l - длина волны света. Можно записать аналогичное выражение, вводя вместо угловой полуширины размер центрального светлого кольца d:

, (8)

где F- фокусное расстояние объектива.

Если теперь рассматривать дваочень близко расположенных точечных объекта, то дифракционные картины от них будут перекрывать друг друга и в результате в центре поля зрения будет видно размытое овальное пятно (рис.2-б). Если объекты сближать еще больше, то наступит момент, когда уже нельзя будет сказать, видны ли два перекрывающихся объекта или - единственное изображение. О том, когда это происходит, различные наблюдатели могут судить по разному. Однако существует общепринятый критерий, предложенный Рэлеем. Критерий Рэлея устанавливает, что две точки объекта (S₁ и S₂ на рис.4) будут находиться на пределе разрешения (т.е. видны еще раздельно), если середина центрального максимума интенсивности от одной точки совпадает с первым минимумом интенсивности от другой точки. При этом ордината точки пересечения кривых интенсивности должна составлять не более 80% от ординаты максимумов.

Понимание неизбежности существования такого предела разрешимости позволяет избежать ошибок при конструировании различных оптических приборов. Простые схемы построения изображений на первый взгляд приводят к выводам, что выбирая соответствующие фокусные расстояния, можно создать микроскопы с любым увеличением. В действительности увеличение свыше некоего предела означает простое увеличение дифракционной картины. Можно глубоко заблуждаться, полагая, будто мы видим детали объекта, в то время как на самом деле мы видим лишь детали дифракционной картины.

Рис.4

Чтобы установить предельное разрешение микроскопа, воспользуемся критерием Релея и специальной количественной характеристикой разрешения, так называемой разрешающей силой (разрешающей способностью):

, (9)

где y_min – наименьший допустимый размер объекта, который еще можно рассмотреть в микроскоп.

Рассмотрим простую схему получения изображения с помощью объектива микроскопа (рис.5), считая, что аберрации устранены. При этом каждой точке объекта соответствует определенная (сопряженная) точка изображения.

Рис.5

Для любой пары сопряженных точек: y - в плоскости предмета , y^/-в плоскости его изображения, - выполняется условие синусов^[3] :

, (10)

где n и n^/- показатели преломления сред, в которых соответственно находятся объект и его изображение;u и u^/-апертурные углы со стороны предмета и изображения. В микроскопах изображение всегда получается в воздухе, поэтомуn^/@ 1.

Учитывая малость углов , находим из рис.5 :

. (11)

Используя (10), получаем формулу для размера изображения:

. (12)

Для оценки разрешающей способности следует найти такой размер y,^/которыйбудет соответствовать искомому наименьшему размеру предмета y.Очевидно в этом случае размер изображения должен быть больше или равен половине ширины дифракционного максимума (см.рис.4). Используя формулу (8), в которой величину F обычно заменяют расстоянием S^/от объектива до места расположения изображения, из (12) получим:

. (13)

Разрешающую силу найдем, выражая величину y_minиз (13) и подставляя ее в знаменатель (9):

(14)

Величина характеризует угол раскрытия объектива и называется числовой апертурой микроскопа .Из формулы (14) видно, что разрешающая способность микроскопа определяется двумя величинами: длиной волны света l и числовой апертурой.

Формула (14) для разрешающей способности микроскопа является универсальной и широко используется в инструментальной оптике. Очевидно, например, что разрешающую силу микроскопа можно повысить, если объект погрузить в вещество с n>1( в так называемую иммерсионную жидкость). Также выгодно увеличивать числовую апертуру, но возможности такого увеличения очень ограничены. Наконец, целесообразно переходить к более коротким волнам: для освещения объектов часто используют синие лучи и даже ультрафиолетовое излучение. В этом случае приходится изготовлять всю оптику из кварца и применять специальные люминесцирующие экраны для регистрации изображения. Такие опыты являются весьма доргостоящими, а производимые измерения довольно сложны. Однако создание ультрафиолетового микроскопа позволило примерно в два раза увеличить разрешающую силу (по сравнению с обычными микроскопами), что очень существенно, например для биологических исследований.

Наиболее эффектным и радикальным способом увеличения разрешающей силы микроскопа (правда, выходящим за рамки оптических исследований) является переход к электронной оптике. Дифракцию пучка электронов, проявляющих волновые свойства, можно описать с помощью волны де Бройля l = h / mv, где h – постянная Планка, v – скорость электронов в пучке. В этом случае при ускоряющем потенциале в 150 В длина волны де Бройля порядка 10^-8 см, т.е. в 5000 раз меньшая, чем при оптических измерениях. Хотя из-за прохождения пучка электронов черна характеризует угол раскрытия объектива и называется числовой апертурой микроскопа .Из формулы (14) видно, что разрешающая способность микроскопа определяется двумя величинами: длиной волны света l и числовой апертурой.

Наиболее эффектным и радикальным способом увеличения разрешающей силы микроскопа (правда, выходящим за рамки оптических исследований) является переход к электронной оптике. Дифракцию пучка электронов, проявляющих волновые свойства, можно описать с помощью волны де Бройля l = h / mv, где h – постянная Планка, v – скорость электронов в пучке. В этом случае при ускоряющем потенциале в 150 В длина волны де Бройля порядка 10^-8 см, т.е. в 5000 раз меньшая, чем при оптических измерениях. Хотя из-за прохождения пучка электронов через исследуемый объект всегда возникают дополнительные аппаратурные погрешности, ограничивающие возможности увеличения разрешающей способности, все же удается примерно в 100 раз уменьшить предельную величину изучаемых объектов: 2×10^-7 см вместо 2×10^-5 см.

Отметим, наконец, еще одну конструкционную особенность. Для того, чтобы детали, разрешенные объективом микроскопа, могли быть восприняты глазом, увеличение окуляра микроскопа должно быть подобрано таким образом, чтобы они были видны под углом около 1^/. Это ограничение возникает из-за физиологической особенности зрения. Если рассматривать две близкие точки объекта под углом <1^/, то их изображения попадают на одно нервное окончание (на одну колбочку) и тогда глаз воспринимает их, как одну точку.