Методы подстановки и замены переменного
Пусть требуется найти неопределенный интеграл от непрерывной функции на интервале (a;b).
Рассмотрим некоторую функцию , которая имеет непрерывную производную и обратную функцию . (Например: монотонна). Тогда справедлива формула:
. (2.1)
В некоторых ситуациях удается подобрать функцию так, что интеграл в правой части (1) оказывается проще, чем в левой части. Такой прием называется методом замены переменной. На практике часто формулу используют в обратную сторону:
(2.1)
Другими словами, если подынтегральное выражение может быть записано в форме левой части (2.1), то с помощью подстановки получаем более простой интеграл.
Пример 8. .
Пример 9.
.
Правильность вычисления интеграла можно проверить: производная найденного интеграла должна совпадать с подынтегральной функцией. В нашем примере:
.
Пример 10. .
Пример 11. .
На практике часто используется следующая простая формула:
, (2.2)
где - первообразная для функции .
Пример 12. .
Пример 13. .
Пример 14. .
Вопросы для самопроверки
1. Что называется первообразной функции ?
2. Что означает произвольная постоянная интегрирования С?
3. В чем заключается основная идея метода замены переменной?
4. Каким условиям должна удовлетворять функция при замене переменной?