Пример решения задачи

Формулировка задачи:

Предприятию необходимо взять в аренду складские помещения для хранения своей продукции.Склад может быть расположен в одном из трех городов: D, B или C. Руководству предприятия, в составе: Петров П.Е., Иванов И.В. и Некрасова Н.Е., необходимо решить: в каком городе рациональнее расположить склад. Для анализа альтернатив руководство выделило три критерия, оказывающих наибольшее влияние на доходность предприятия: спрос на продукцию (С), наличие конкурентов (К) и стоимость аренды складских помещений (Ар) в каждом из городов. Основываясь на выдвинутых критериях, руководство должно отдать предпочтение определенному городу.

В каком городе выгоднее разместить склад, при условии, что мнения экспертов равнозначны?

Решение:

1.Матрицы парных сравнений критериев:

  Петров П.Е. Иванов И.В. Некрасов Н.Е.
    С К Ар       С К Ар       С К Ар  
D= С   D= С   D= С  
К 0,2 0,5   К 0,25   К 0,5  
Ар 0,25   Ар 0,333   Ар 0,2 0,25  
                                           

2.Для определения относительных весов критериев «С», «К» и «Ар» нормализуем полученные матрицы сравнения и найдем средние значения элементов соответствующих строк нормализованной матрицы.

Петров П.Е.  
      С К Ар wi
  ND= С 0,681
  К 0,118
  Ар 0,201
             

Аналогично получаем весовые коэффициенты критериев для других экспертов:

Иванов И.В.   Некрасов Н.Е.  
    С К Ар wi     С К Ар wi
ND= С 0,632 0,667 0,6 0,633 ND= С 0,588 0,615 0,5 0,568
К 0,158 0,167 0,2 0,175 К 0,294 0,308 0,4 0,334
Ар 0,211 0,167 0,2 0,192 Ар 0,118 0,077 0,1 0,098

3.Проверим: является ли уровень несогласованности полученных матриц парных сравнений приемлемым.

Петров П.Е.
= 0,681 = 2,076
0,2 0,5 0,118 0,355
0,25 0,201 0,607

Отсюда получаем:

nmax = 2,076 + 0,355 + 0,607 = 3,038

Следовательно, для n=3 имеем:

Так как CR<0,1, уровень несогласованности матрицы D является приемлемым.

Аналогично находим:

 

 

Иванов И.В.
= 0,633 = 1,909
0,25 0,175 0,525
0,333 0,192 0,578

Отсюда получаем:

nmax = 3,013

Следовательно, для n=3 имеем:

Так как CR<0,1, уровень несогласованности матрицы D является приемлемым.

Некрасов Н.Е.
= 0,568 = 1,727
0,5 0,334 1,011
0,2 0,25 0,098 0,295

Отсюда получаем:

nmax = 3,033.

Следовательно, для n=3 имеем:

Так как CR<0,1, уровень несогласованности матрицы D является приемлемым.

В результате мы имеем весовые коэффициенты критериев для каждого эксперта, представленные в Таблица 1.

Таблица 1

  Петров П.Е. Иванов И.В. Некрасов Н.А.
С 0,681 0,633 0,568
К 0,118 0,175 0,334
Ар 0,201 0,192 0,098

Произведем действия, аналогичные пп.1-3, для получения весов альтернативных решений (D, B и С).

1.Матрицы парных сравнений альтернатив в соответствии с каждым критерием.

 

Петров П.Е.
DС=   D В С   DК=   D В С   DАр=   D В С
D D D 0,5
В В 0,5 В 0,5 0,25
С 0,5 0,333 С 0,333 0,5 С

 

Иванов И.В.
DС=   D В С   DК=   D В С   DАр=   D В С
D D D
В 0,25 0,5 В 0,333 В 0,333
С 0,333 С 0,25 0,5 С 0,25 0,5

 

Некрасов Н.Е.
DС=   D В С   DК=   D В С   DАр=   D В С
D D D
В 0,5 В 0,333 В 0,5 0,5
С 0,2 0,2 С 0,25 С

2.Соответствующие нормализованные матрицы и весовые коэффициенты альтернатив:

Петров П.Е.
NDC=   D В С wi
D 0,4 0,429 0,333 0,387
В 0,4 0,429 0,5 0,443
С 0,2 0,143 0,167 0,170
NDК=   D В С wi
D 0,545 0,571 0,5 0,539
В 0,273 0,286 0,333 0,297
С 0,182 0,143 0,167 0,164
NDАр=   А В С wi
D 0,286 0,286 0,286 0,286
В 0,143 0,143 0,143 0,143
С 0,571 0,571 0,571 0,571

 

Иванов И.В.
NDC=   D В С wi
D 0,632 0,571 0,667 0,623
В 0,158 0,143 0,111 0,137
С 0,211 0,286 0,222 0,239
NDК=   D В С wi
D 0,632 0,667 0,571 0,623
В 0,211 0,222 0,286 0,239
С 0,158 0,111 0,143 0,137
NDАр=   D В С wi
D 0,571 0,6 0,5 0,571
В 0,286 0,3 0,375 0,286
С 0,143 0,1 0,125 0,143

 

Некрасов Н.Е.
NDC=   D В С wi
D 0,588 0,625 0,455 0,556
В 0,294 0,313 0,455 0,354
С 0,118 0,063 0,091 0,090
NDК=   D В С wi
D 0,632 0,667 0,571 0,623
В 0,211 0,222 0,286 0,239
С 0,158 0,111 0,143 0,137
NDАр=   D В С wi
D 0,4 0,4 0,4 0,4
В 0,2 0,2 0,2 0,2
С 0,4 0,4 0,4 0,4

3.Проверим согласованности матриц сравнений альтернатив.

return false">ссылка скрыта

Столбцы матрицы NDАр (Петров П.Е.) и NDАр (Некрасов Н.Е.) одинаковы. Это имеет место лишь в случае, когда лицо, принимающее решение, проявляет идеальную согласованность в определении элементов матрицы сравнений, т.е. матрица сравнений является согласованной.

Оценим уровень несогласованности остальных матриц сравнений.

Проверим согласованность матрицы сравнений альтернатив в рамках критерия «Спрос», составленную экспертом Петровым П.Е.

= 0,387 = 1,170
0,443 1,340
0,333 0,170 0,511

Отсюда получаем: nmax = 3,021

Следовательно, для n=3 имеем:

Так как CR<0,1, уровень несогласованности матрицы DС является приемлемым.

Проверим согласованность матрицы сравнений альтернатив в рамках критерия «Конкуренция», составленную экспертом Петровым П.Е.

= 0,539 = 1,625
0,5 0,297 0,894
0,333 0,5 0,164 0,492

Отсюда получаем: nmax = 3,011

Следовательно, для n=3 имеем:

Так как CR<0,1, уровень несогласованности матрицы DК является приемлемым.

Проверим согласованность матрицы сравнений альтернатив в рамках критерия «Спрос», составленную экспертом Ивановым И.В.

= 0,623 = 1,891
0,25 0,5 0,137 0,413
0,3333 0,239 0,722

Отсюда получаем: nmax = 3,025

Следовательно, для n=3 имеем:

Так как CR<0,1, уровень несогласованности матрицы DС является приемлемым.

Проверим согласованность матрицы сравнений альтернатив в рамках критерия «Конкуренция», составленную экспертом Ивановым И.В.

 

 

= 0,623 = 1,891
0,333 0,239 0,722
0,25 0,5 0,137 0,413

Отсюда получаем: nmax = 3,025

Следовательно, для n=3 имеем:

Так как CR<0,1, уровень несогласованности матрицы DК является приемлемым.

Проверим согласованность матрицы сравнений альтернатив в рамках критерия «Арендная плата», составленную экспертом Ивановым И.В.

= 0,557 = 1,688
0,5 0,320 0,967
0,25 0,333 0,123 0,369

Отсюда получаем: nmax = 3,023

Следовательно, для n=3 имеем:

Так как CR<0,1, уровень несогласованности матрицы DАр является приемлемым.

Проверим согласованность матрицы сравнений альтернатив в рамках критерия «Спрос», составленную экспертом Некрасовым И.В.

= 0,090 = 1,715
0,5 0,090 1,083
0,2 0,2 0,090 0,272

Отсюда получаем: nmax = 3,071

Следовательно, для n=3 имеем:

Так как CR<0,1, уровень несогласованности матрицы DС является приемлемым.

Проверим согласованность матрицы сравнений альтернатив в рамках критерия «Конкуренция», составленную экспертом Некрасовым И.В.

= 0,623 = 1,891
0,333 0,239 0,722
0,25 0,5 0,137 0,413

Отсюда получаем: nmax = 3,025

Следовательно, для n=3 имеем:

Так как CR<0,1, уровень несогласованности матрицы DК является приемлемым.

В результате мы имеем весовые коэффициенты альтернатив в соответствии с каждым критерием для каждого эксперта, которые представлены в Таблица 2.

Таблица 2

  Петров П.Е. Иванов И.В. Некрасов Н.А.
  С К Ар С К Ар С К Ар
D 0,387 0,539 0,286 0,623 0,623 0,557 0,556 0,623 0,4
В 0,443 0,297 0,143 0,137 0,239 0,320 0,354 0,239 0,2
С 0,170 0,164 0,571 0,239 0,137 0,123 0,090 0,137 0,4

4. Полученные в результате расчетов данные (Таблица 1 и Таблица 2) для наглядности представим на дереве (Рис. 1).

Комбинированный вес W для каждого города определяется по единой схеме. Например, для города Dможно записать:

.

5. Таким образом, в результате проведенных вычислений получаем следующие комбинированные весовые коэффициенты для каждого из городов:

WD= 0,519
WB = 0,285
WC = 0,195

В результате, город D получает наивысший комбинированный вес и, следовательно, является наиболее оптимальным выбором для размещения склада.


Рис. 1