Аппроксимация по Чебышеву

 

Функция F(x) аппроксимирует по Чебышеву функцию ξ(x), если эта функция выбрана таким образом, что наибольшее значе­ние модуля разности |F(x)—ξ(x)| -- интервале приближения является минимальным.

Этот тип аппроксимации назван по имени русского математика академика П. Л. Чебыщева (1821—1894 гг.), который впервые сформулировал и указал общие методы решения задачи наилучшего приближения функций. Теория наилучшего приближения функций, основанная П. Л. Чебышевым, была блестяще развита в работах наших соотечественников Е. И. Золотарева, П. И. Ахиезера и др.


При решении задач наилучшего приближения функций большое применение находят так называемые полиномы Чебышева, которые вычисляются по формуле

Рп (х) = cos (n arccos x). (20.59)

При п=1получим

Р1 (х) = cos (arccos x) = x.

При n=2

При n=3; 4; 5 эти полиномы имеют вид:

Из приведенных выражений видно, что полиномы Чебышева представляют собой многочлены степени п с коэффициентом при старшем члене, равным 2n-1. В качестве примера на рис. 20.32 и 20.33 приведены графики полиномов Р4(х) и Р5(х).

Особенностью полиномов Чебышева является то, что в интер­вале они из всех полиномов степени п с коэффициен­том при старшем члене 2п-]наименее отклоняются от нуля. Вне указанного выше интервала значения этих полиномов по абсолют­ной величине являются наибольшими из всех полиномов степени n.

 

20.13. СИНТЕЗ ФИЛЬТРОВ ТИПА LC

 

При проектировании электрических фильтров в последнее время начали широко использовать общую теорию синтеза электриче­ских цепей [4, 9], позволяющую реализовать заданную характери­стику фильтра при минимальном числе его элементов. Чаще всего заданной характеристикой фильтра является его амплитудно-ча­стотная характеристика. Обычно ограничиваются рассмотрением методики синтеза нормированного фильтра нижних частот, так как с помощью преобразования частоты от этого фильтра можно


перейти к фильтрам других типов. При этом под Нормированным фильтром нижних частот понимают такой фильтр, у которого нор­мированная частота среза и сопротивление нагрузки равно единице. Идеальная амплитудно-частотная характеристика такого фильтра приведена на рис. 20.34, где по горизонтальной оси отложена нормированная частота .

Ограничимся рассмотрением методики син­теза нормированного фильтра нижних частот полиномиального типа, т. е. такого фильтра, у которого нули операторной передаточной функ­ции или полюсы затухания находятся на беско­нечно большой частоте.

Аппроксимацию амплитудно-частотной харак­теристики фильтра (см. рис. 20.34) осущест­вляют такими аналитическими функциями ча­стоты Ω, чтобы по этим функциям можно было получить реали­зуемые операторные передаточные функции реактивного четы­рехполюсника К(р). Выражение квадрата амплитудно-частотной характеристики фильтра нижних частот полиномиального типа, имеет вид

Величины коэффициентов Aft зависят от выбранного типа ап­проксимации.

Рассмотрим синтез нормированных фильтров нижних частот полиномиального типа с аппроксимацией их амплитудно-частотных характеристик по Тейлору и по Чебышеву.