Законы сохранения импульса и энергии

Закон сохранения импульса:

,

где n – полное число тел, входящих в замкнутую систему.

Работа переменной силы

При F =const

A=FDrcosa,

где a- угол между направлениями силы и перемещения . Средняя мощность за время Dt

.

Мгновенная мощность

,

где - элементарная работа за промежуток времени dt.

Кинетическая энергия тела при поступательном движении

.

Потенциальная энергия тела в поле силы тяжести

,

где h – высота тела над начальным уровнем отсчёта.

Потенциальная энергия тела при упругой деформации

,

где k – коэффициент упругости, x – абсолютная деформация.

В замкнутой системе, где действуют консервативные силы,

E_к+E_п=const.

При действии сил трения необходимо учитывать потери механической энергии.

 

примеры решения задач

 

Задача 1. Частица массой m₁, имеющая скорость V₂, налетела на покоящийся шар массой m₂ и отскочила от него со скоростью U₁ под прямым углом к направлению первоначального движения. Какова скорость U₂ шара после соударения? Считать удар центральным.

Используя закон сохранения импульса, получим

На рисунке покажем импульсы тел.

Модуль импульса шара найдём, используя теорему Пифагора:

,

отсюда

Ответ:

 

R=l

l

l

x

Задача 2. Шар массой M висит на нити длиной l. В шар попадает горизонтально летящая пуля и застревает в нём. С какой скоростью V₀ должна лететь пуля, чтобы в результате попадания пули шар мог сделать на нити полный оборот в вертикальной плоскости? Размерами шара пренебречь. В верхней точке сила натяжения нити равна нулю. Масса пули m.

Обозначим: V - скорость шара с пулей сразу после неупругого соударения, U - скорость шара с пулей в верхней точке.

В проекциях на ось OX закон сохранения импульса имеет вид

mV₀ = (m + M) V.(1)

Выберем нулевой уровень отсчёта потенциальной энергии, совпадающий с осью OX .

В нижнем положении шар с пулей обладает только кинетической энергией ; в верхней точке - кинетической и потенциальной (m+M)gh энергиями, где h = 2R =2l.

Закон сохранения механической энергии запишем в виде

. (2)

После преобразований

. (2¢)

В верхней точке на шар с пулей действует сила тяжести, по условию задачи сила натяжения нити равна нулю. Используем II закон Ньютона:

(3)

где

Из уравнения (1) выразим V₀:

_. (4)

Из уравнения (3)

(5)

Подставив (5) в (2¢), получим

Найдем V₀ , вернувшись к (4)

Ответ:

Задача 3. Какова работа силы трения за один оборот аэросаней, движущихся по вертикальной круговой дорожке? Скорость саней постоянна и равна V, масса саней m, коэффициент трения k.

На рисунке покажем все силы, действующие на сани в произвольной точке траектории, учитывая, что , т.к. V=const.

Полная работа силы трения

где

Силу реакции опоры N выразим из уравнения второго закона Ньютона, записанного в проекциях на радиальную ось:

где , R - радиус окружности.

Элементарная работа силы трения

Работа силы трения

После интегрирования

Ответ:

задачи для самостоятельного решения

 

3.1 .Тело массой m = 2,0 кг падает с высоты h = 20 м из состояния покоя и в момент удара о землю имеет скорость V = 15 м/с. Определить работу силы сопротивления и силу сопротивления, считая её постоянной.

3.2. Какой путь s пройдут санки по горизонтальной поверхности после спуска с горы высотой h = 1,5 м и уклоном α = 45⁰? Коэффициент трения μ = 0,2.

3.3. Ящик тянут равномерно за верёвку. Сила F направлена под углом α = 30⁰. Определить работу, которую при этом совершают. Масса ящика m = 100 кг, коэффициент трения μ = 0,33, путь s = 50 м.

3.4. Поезд из состояния покоя за время τ = 5 мин развивает скорость V = 64,8 км/ч. Масса поезда m = 600 т, коэффициент трения μ = 0,04. Найти среднюю мощность, развиваемую локомотивом, если его движение равноускоренное.

3.5. Какую среднюю мощность развивает автомобиль при подъеме в гору? Начальная скорость автомобиля V₀= 36 км/ч, его конечная скорость V_к= 21 ,6 км/ч, коэффициент трения μ = 0,1, высота горы h = 12 м, длина склона горы l = 80 м, масса автомобиля m = 4×1О³ кг.

3.6. Какую нужно совершить работу A, чтобы пружину жесткостью k = 800 Н/м, сжатую на Dx₁ = 6 см, дополнительно сжать на ∆х₂ = 8 см?

3.7. Санки скатываются с горки высотой h = 8 м по склону длиной l = 100 м. Масса санок с седоком m = 60 кг. Какова сила сопротивления движению санок, если в конце спуска они имели скорость V = 11 м/с?

3.8. Вагонетку массой m = 100 кг поднимают по рельсам в гору с ускорением a = 0,2 м/с². Коэффициент трения колес вагонетки о рельсы μ = 0,1, длина склона горы l = 50 м, угол наклона α = 30⁰. Какова работа A силы тяги?

3.9. Самолет для взлета должен иметь скорость V = 80 км/ч. Длина разбега S = 150 м. Какова мощность моторов при взлете, если масса самолета m = 1000 кг, коэффициент трения колес шасси о землю μ = 0,02?

3.10. На горизонтальном участке пути длиной S = 2 км скорость поезда возросла с V₁ = 36 до V₂ = 72 км/ч. Определить работу и среднюю мощность тепловоза, если масса поезда m = 10³ т, а коэффициент трения m = 0,001.

3.11. Поезд массой m = 10⁶ кг поднимается равномерно со скоростью V = 36 км/ч по уклону в 10 м на 1 км. Коэффициент трения равен m = 0,002. Определить мощность, развиваемую паровозом.

3.12. Какой путь l пройдут до полной остановки санки, имеющие начальную скорость V₀, при подъеме на гору с углом наклона α, коэффициентом трения μ? Известно, что на горизонтальном участке пути с тем же коэффициентом трения μ санки, имеющие такую же начальную скорость V₀, проходят путь l₀.

3.13. Автомобиль массой m = 4 т подъезжает к горке высотой h = 10 м и длиной склона S = 80 м со скоростью V₀ = 36 км/ч. Какую среднюю мощность развивает автомобиль на подъеме, если его скорость на вершине горы при постоянной силе тяги оказалась V = 21,6 км/ч? Коэффициент трения принять равным m = 0,1.

3.14. На подъеме в гору автомобиль движется равномерно со скоростью V = 14,4 км/ч. Какова мощность автомобиля, если его масса m = 6 т, угол наклона горы α = 10⁰, коэффициент трения μ = 0,09?

3.15. Под действием постоянной силы вагонетка прошла путь S = 5 м и приобрела скорость V = 2 м/с. Определить работу силы, если масса вагонетки m = 400 кг и коэффициент трения μ = 0,01.

3.16. Движение тела массой m = 2 кг под действием некоторой силы задано уравнением х = А + Bt + Ct² + Дt³, где А = 10 м, В = -2 м/с, С = 1 м/с², Д = - 0,2 м/с³. Найти мощность, затрачиваемую на движение тела, в моменты времени t₁ = 2 с и t₂ = 5 с.

3.17. На тело массой m = 10 кг, движущееся по горизонтальной плоскости, действует сила F = 100 Н, направленная под углом α = 30⁰ к горизонту. Определить работы всех сил, действующих на тело, а также их суммарную работу при перемещении тела вдоль плоскости на расстояние S = 10 м. Считать, что коэффициент трения μ = 0,1.

return false">ссылка скрыта

3.18. Лифт массой m = 10³ кг поднимается на высоту h = 9 м за время t = 3 с. Сравнить работу по подъему лифта в двух случаях: 1) лифт поднимается равномерно; 2) лифт поднимается равноускоренно. Начальная скорость лифта в обоих случаях V₀ = 0.

3.19. Автомобиль массой m = 2000 кг движется вверх по горке с углом наклона a=10⁰ к горизонту, развивая на пути S = 100 м скорость V = 36 км/ч. Коэффициент трения μ = 0,05; начальная скорость V₀ = 0. Найти среднюю и максимальную мощности двигателя автомобиля при разгоне.

3.20. При вертикальном подъеме груза массой m = 2 кг на высоту h = 1 м постоянной силой была совершена работа А = 78,5 Дж. С каким ускорением a поднимали груз?

3.21. Вагон массой m = 20 т, движущийся равнозамедленно, под действием силы трения равной F = 6000 Н останавливается. Начальная скорость вагона равна V = 54 км/ч. Найти работу силы трения и расстояние, которое вагон пройдёт до остановки.

3.22. Пуля массой m = 10 г подлетает к доске толщиной d = 4 см со скоростью V₁ = 600 м/с и, пробив доску, вылетает со скоростью V₂ = 400 м/с. Найти среднюю силу сопротивления движению пули в доске.

3.23. В тело массой m₁ = 990 г, лежащее на столе, попадает пуля массой m₂ = 10 г и застревает в нем. Вектор скорости пули V = 700 м/с направлена горизонтально. Какой путь пройдет тело до остановки, если коэффициент трения между телом и столом μ = 0,05?

3.24. Сила F = 0,5 Н действует на тело массой m = 10 кг в течение времени t = 2 с. Определить кинетическую энергию тела в конце этого промежутка времени. Начальная скорость тела V₀ = 0.

3.25. Поезд массой m = 1,5×10⁶ кг движется со скоростью V = 37,6 км/ч и при торможении останавливается, пройдя путь S = 200 м. Какова сила торможения? Как должна измениться сила торможения, чтобы поезд остановился, пройдя в два раза меньший путь?

3.26. Пуля массой 10 г, летевшая со скоростью 600 м/с, попала в баллистический маятник массой 5 кг и застряла в нем. На какую высоту h поднялся маятник?

3.27. Вподвешенный на нити длиной l = 1,8 м деревянный шар массой m₁ = 8 кг попадает горизонтально летящая пуля массой m₂ = 4 г. С какой скоростью летела пуля, если нить с шаром и застрявшей в нем пулей отклонилась от вертикали на угол α = 3⁰?

3.28. Грузы массами m₁ = 10 кг и m₂ = 15 кг подвешены на нитях длиной l = 2 м так, что они соприкасается между собой. Меньший груз был отклонен на угол α = 60⁰ и отпущен. На какую высоту поднимутся грузы после неупругого удара?

3.29. Шар массой m₁ = 3 кг движется со скоростью V₁ = 2 м/с и сталкивается с покоящимся шаром массой m₂ = 5 кг. Удар абсолютно неупругий. Какая работа совершается при деформации шаров?

3.30. Шары массами m₁ = 2 кг и m₂ = 3 кг двигаются навстречу друг другу со скоростями V₁ = 8 м/с, V₂ = 4 м/с. Найти работу деформации шаров при их абсолютно неупругом столкновении.

3.31. Пуля попадает в ящик с песком и застревает в нем. На сколько сожмется пружина жесткостьюk, удерживающая ящик, если пуля имеет массу m и движется со скоростью V, а масса ящика с песком М?Поверхность гладкая.

3.32. От удара груза массой M = 50 кг, падающего свободно с высоты h = 4 м, свая массой m = 150 кг погружается в грунт на глубину DS=10 см. Определить силу сопротивления грунта, считая ее постоянной, а удар абсолютно неупругим.

3.33. Вагон массой 20 т, движущийся по горизонтальному пути со скоростью 2 м/с, догоняет вагон массой 40 т, движущийся со скоростью 1 м/с, и сцепляется с ним. Найти изменение механической энергии системы двух вагонов.

3.34. Два шара подвешены на тонких параллельных нитях и касаются друг друга. Меньший шар отводят на 90⁰ от первоначального положения и отпускают. После удара шары поднялись на одинаковую высоту. Определить массу меньшего шара, если масса большего 0,6 кг, а удар абсолютно упругий.

3.35. Два упругих шарика, массы которых m₁ = 100 г и m₂ = 300 г, подвешены на одинаковых нитях длиной l = 50 см и касаются друг друга. Первый шарик отклонили от положения равновесия на угол a = 90⁰ и отпустили. На какую высоту поднимется второй шарик после абсолютно упругого удара?

3.36. Два шара подвешены на параллельных нитях одинаковой длины так, что они соприкасаются. Масса первого шара m₁ = 0,2 кг, масса второго m₂ = 100 г. Первый шар отклоняют так, что его центр поднимается на высоту h = 4,5 см, и отпускают. На какую высоту поднимутся шары после соударения, если удар абсолютно неупругий?

3.37. Тело массой m = 3 кг движется со скоростью V = 4 м/с и ударяется о неподвижное тело такой же массы. Считая удар центральным и абсолютно неупругим, найти количество теплоты Q, выделившееся при ударе.

3.38. Два тела движутся навстречу друг другу и ударяются неупруго. Скорость первого тела до удара V₁ = 2 м/с, скорость второго V₂ = 4 м/с. Направление скорости тел после удара совпадает с направлением скорости первого тела до взаимодействия и равна V = 1 м/с. Во сколько раз кинетическая энергия первого тела была больше кинетической энергии второго тела?

3.39. Движущееся тело массой m₁ ударяется о неподвижное тело массой m₂. Считая удар неупругим и центральным, найти, какая часть первоначальной кинетической энергии переходит при ударе в теплоту. Задачу решить сначала в общем виде, а затем рассмотреть следующие случаи: 1) m₁ = m₂; 2) m₁ = 9 m₂.

3.40. Молот массой m₁ = 200 кг падает на поковку, масса которой вместе с наковальней m₁ = 2500 кг. Скорость молота в момент удара V₁ = 2 м/с. Найти энергию, затраченную на деформацию поковки. Удар рассматривать как неупругий.

3.41. Определить КПД неупругого удара бойка (ударная часть свайного молота) массой m₁ = 500 кг, падающего на сваю массой m₂ = 120 кг. Полезной считать энергию, затраченную на вбивание сваи.

3.42. По небольшому куску мягкого железа, лежавшего на наковальне массой m₁ = 300 кг, ударяет молот массой m₂ = 8 кг. Определить КПД удара, считая удар неупругим. Полезной считать энергию, затраченную на деформацию куска железа.

3.43. Боек (ударная часть) свайного молота массой m₁ = 500 кг падает на сваю массой m₂ = 100 кг со скоростью V₁ = 4 м/с. Определить энергию, затраченную на углубление свай в грунт, и КПД удара бойка о сваю. Удар рассматривать как неупругий. Полезной считать энергию, затраченную на углубление сваи в грунт.

3.44. Гиря, положенная на верхний конец спиральной пружины, сжимает её на ∆х = 20 мм. На сколько сожмет пружину та же гиря, упавшая на конец пружины с высоты h = 50 см?

3.45. Мальчик, стреляя из рогатки, натянул резиновый шнур так, что его длина стала больше на Dx₁=10 см. С какой скоростью полетел камень массой m = 20 г? Для растяжения резинового шнура на Dx =1 см требуется сила F = 10 Н.

3.46. Тело массой M = 5 кг ударяется о неподвижное тело массой m = 2,5 кг, которое после удара начинает двигаться с кинетической энергией E = 5 Дж. Считая удар центральным и упругим, найти кинетическую энергию первого тела до и после удара.

3.47. Нейтрон (масса m₀) ударяется о неподвижное ядро атома углерода (m = 12 m₀). Считая удар центральным и упругим, найти, во сколько раз уменьшится кинетическая энергия нейтрона при ударе.

3.48. Тело массой m, движущееся со скоростью v, налетает на покоящееся тело и после упругого соударения отскакивает от него под углом a = 90⁰ к первоначальному направлению своего движения со скоростью V/2. Определить массу второго тела.

3.49. Два шара массами m₁ = 2,5 кг и m₁ = 1,5 кг движутся навстречу друг другу со скоростями V₁ = 6 м/с и V₂ = 2 м/с. Определить скорость шаров после удара и долю кинетической энергии шаров, превратившейся во внутреннюю энергию. Удар считать центральным и неупругим.

3.50. Шар массой m = 1,8 кг сталкивается с покоящимся шаром большей массы М. В результате центрального упругого удара шар потерял 0,36 своей кинетической энергии. Определить массу большего шара.

3.51. После упругого столкновения частицы 1 с покоящейся частицей 2 обе частицы разлетелись симметрично относительно первоначального направления движения частицы 1, угол между их направлениями разлета равен a = 60⁰. Найти отношение масс этих частиц.

3.52. В результате упругого лобового столкновения частицы 1 массой m₁ с покоящейся частицей 2 обе частицы разлетелись в противоположные направления с одинаковыми скоростями. Найти массу частицы 2.

3.53. Частица массой m испытала столкновение с покоящейся частицей массой М, в результате которого первая частица отклонилась на угол 90⁰, а вторая отскочила под углом 30⁰ к первоначальному направлению движения частицы массой m. На сколько процентов и как изменилась кинетическая энергия этой системы после столкновения, если M/m = 5?

3.54. Шар массой m₁, движущийся со скоростью V₁, догоняет шар массой m₂, движущийся со скоростью V₂. Определить скорости шаров после упругого соударения. Удар центральный.

3.55. На покоящийся шар налетает со скоростью V₁ = 2м/с другой шар одинаковой с ним массы. В результате столкновения этот шар изменил направление движения на угол α = 30⁰. Определить скорости U₁, и U₂ шаров после удара.

3.56. Между двумя тележками массами m₁, и m₂ (m₁ > m₂) находится сжатая пружина. Разжимаясь, пружина расталкивает тележки. Сравнить кинетические энергии, приобретенные тележками. Трением пренебречь.