И НЕМИНИМАЛЬНО-ФАЗОВЫЕ ЦЕПИ
При решении задачи синтеза электрической цепи по ее заданной амплитудно-частотной характеристике X(ω) используют зависимость между этой характеристикой и операторной передаточной функцией цепи К(р).
Для установления этой зависимости представим квадрат амплитудно-частотной характеристики K2(ω) в виде
Для значений р, расположенных на оси jω, т. е. при jω=p, получим
F(-p2) = К (р)К(-p). (18.53)
Эта функция, так же как и квадрат амплитудно-частотной характеристики К2(ω), является четной рациональной функцией. Полиномы ее числителя и знаменателя являются четными полиномами переменного р с вещественными коэффициентами. Так как нули четных полиномов располагаются симметрично относительно мнимой оси, а нули полиномов с вещественными коэффициентами — симметрично относительно вещественной оси, то нули и полюсы функции F(—р2) располагаются на комплексной плоскости симметрично относительно ее координатных осей, т. е. находятся в квадрантной симметрии.
Это свойство нулей и полюса функции F(—р2) позволяет найти выражение для операторной передаточной функции электрической цепи К(р) по ее заданной амплитудно-частотной характеристике. Для этого необходимо в выражении для К2(ω) заменить ω2 на —р2, найти нули и полюсы функции F(—р2) и распределить их поровну между К(р) и K(-р). При этом нее полюсы F(—р2), находящиеся в левой полуплоскости, для пассивной электрической цепи следует отнести к К(р), а все полюсы, находящиеся в правой полуплоскости, — к К(—р). Так как на расположение нулей передаточных функций пассивных электрических
цепей никаких ограничений не накладывалось, то нули F(—p2) следует распределить поровну между К(р) и K(—р).
Пример18.5,
Найти выражение для передаточной функции электрической цепи, если квадрат ее амплитудно-частотной характеристики имеет вид
K2(ω) = (ω2 + 1 )/(ω4 + 4).
Решение.
Произведя замену ω=-р2, из К2(ω) получим функцию
F=(-p2) = (-p2+1)/(p4+ 4).
Разложив числитель и знаменатель эгой функции на простые множители, получим
F(-p2) = (p+1)(p+1)/(p2 + 2Р + 2)(p2 -2p+ 2).
Из этой функции находим
и
или
и К .
Из рассмотренного примера видно, что одну и ту же ампли-тудно-частотную характеристику могут иметь электрические цепи с разными передаточными функциями, что обусловлено произвольностью выбора нулей передаточной функции.
Если все нули передаточной функции электрической цепи расположены только в левой полуплоскости, то такую цепь называют минимально-фазовой цепью. Если все или часть нулей передаточной функции электрической цепи расположены в правой полуплоскости, то такую цепь называют неминимально-фазовой.
Примером неминимально-фазовой цепи является четырехполюсник с операторной передаточной функцией
K(p) = V(-p)/V(p), (18.54)
где V(p) —полином Гурвица, все нули которого расположены в левой полуплоскости;
V(—р)—сопряженный полином Гурвица, все нули которого имеют знаки, противоположные знакам нулей полинома Гурвица, т. е. расположены в правой полуплоскости, являясь зеркальным отображением нулей полинома Гурвица.
Четырехполюсник с передаточной функцией (18.54) обычно называют фазовым контуром. Так как
и ,
то комплексная передаточная функция фазового контура будет иметь вид
,(18.55)
где —аргумент комплекса полинома Гурвица,
Из уравнения (18.55) видно, что амплитудно-частотная характеристика фазового контура не зависит от частоты и равна единице, а фазо-частотная характеристика, равная — , монотонно убывает с ростом частоты, так как аргумент комплекса юлинома Гурвица монотонно возрастает с ростом ω.
Примером фазового контура является электрическая цепь, схема которой приведена на рис. 18.14.
Передаточная функция этой цепи по напряжению имеет вид
а амплитудно-частотная и фазо-частотная характеристики определяются выражениями:
Если нули передаточной функции находятся как в левой, так и в правой полуплоскостях, то передаточную функцию можно представить в виде
где W0 (р) — полином, не имеющий нулей в правой полуплоскости;
ψ(-p)— полином, сопряженный полиному Гурвица ψ(ρ),
имеющий все нули в правой полуплоскости.
Если в выражении (18.56) ψ(—р) заменить на ψ(ρ), то получим передаточную функцию цепи минимально-фазового типа
При p=jω множители ψ(jω) и ψ(—jω) имеют равные модули, так как они образуют пару комплексно-сопряженных величин.
Поэтому
|K1(jω)|=|K2(jω)|.
Следовательно, любую неминимально-фазовую цепь всегда можно сопоставить с минимально-фазовой цепью с той же амплитудно-частотной характеристикой.
Передаточную функцию неминимально-фазовой цепи K1(p) можно представить в виде
где К3(р)=ψ(—p)/ω(p)—передаточная функция фазового контура;
K2(р)—передаточная функция минимально-фазовой цепи,
Следовательно, передаточную функцию неминимально-фазовой цепи можно рассматривать как произведение передаточной функции минимально-фазовой цепи с той же амплитудно-частотной характеристикой и передаточной функции фазового контура.
Из выражения (18.58) следует, что
.
Так как фазо-частотная характеристика фазового контура отрицательна, то из этого выражения следует, что минимально-фазовая цепь из всех цепей, имеющих одинаковые амплитудно-частотные характеристики, имеет на любой частоте меньшее запаздывание по фазе, чем неминимально-фазовая цепь. С этим связано и название минимально-фазовых и неминимально-фазовых цепей.
Характерной особенностью минимально-фазовых электрических цепей является однозначная связь между их амплитудно-частотными и фазо-частотными характеристиками. Так, получив по амплитудно-частотной характеристике минимально-фазовой цепи ее передаточную функцию и определив ее аргумент, получим фазо-частотную характеристику рассматриваемой цепи, т. е. по амплитудно-частотной характеристике минимально-фазовой электрической цепи можно однозначно получить ее фазо-частотную характеристику. И наоборот, по фазо-частотной характеристике минимально-фазовой электрической цепи можно однозначно найти ее амплитудно-частотную характеристику.
Существуют соотношения, с помощью которых можно по одной из частотных характеристик минимально-фазовой цепи непосредственно найти вторую характеристику [47].
Наличие жесткой связи между амплитудно-частотными и фазо-частотными характеристиками минимально-фазовых электрических цепей следует учитывать взадачах синтеза электрических цепей, когда по условиям задачи предъявляются требования одновременно к обеим характеристикам.