Предварительные замечания

Обычно процесс решения уравнения

, (4.1)

где - некоторая непрерывная функция, распадается на два этапа.

Первый из них заключается в установлении промежутка [a, b], на котором находится, по крайней мере, один корень уравнения (4.1). Этот этап называется отделением корнейи может осуществляться различными способами. Один из них базируется на фундаментальном свойстве непрерывных функций, описанном теоремой Больцано-Коши :

 

  Пусть функция непрерывна на отрезке [a, b] и на его концах принимает значения разных знаков. Тогда существует внутренняя точка , в которой .  

 

Геометрически это означает, что при выполнении указанных условий график функции на отрезке [a, b], хотя бы один раз, пересечёт ось ox (Рисунок 4.1).

 
 

y

f(a)×f(b) < 0

 

y=f(x)

 


 

a

 

c
x
b

 

 

Рисунок 4.1. Иллюстрация к теореме Больцано-Коши

Отсюда следует, что для отделения корней уравнения (4.1) на первоначально заданном отрезке [А; В] необходимо с некоторым шагом h провести вычисление функции в точках и выделить тот или те отрезки , для которых . Если с выбранным значением h такой промежуток выбрать не удалось, то необходимо повторить вычисления, уменьшая до разумных пределов значение h.

Другой способ отделения корней, - графический. При современном уровне развития вычислительной техники он, по-видимому, является и более предпочтительным. Заключается в построении графика функции на промежутке [A; B] и в установлении, исходя из графика, отрезка [a, b], на котором он пересекает ось ох.

Замечание.На теореме Больцано-Коши основан один из методов решения нелинейных уравнений, - метод половинного деления.Он состоит в следующем. Пусть установлен отрезок [a, b], на котором . Далее, рассматривается середина этого отрезка точка , определяется и из отрезков [a; c], [c; b] выбирается тот, на котором функция меняет знак.

На выбранном отрезке, обозначим его через [a1, b1], величина которого равна , снова рассматривается середина отрезка , определяется и из отрезков [a1; c1], [c1; b1] выбирается тот, на котором изменяет знак. Он обозначается через [a2, b2] и процедура повторяется. На n- ом шаге величина отрезка [an, bn] равна . Если она меньше , где - требуемая точность решения уравнения, то процесс последовательного деления завершается и в качестве приближенного решения выбирается .