Решения
Вариант №1
1. Что называется допустимым решением задачи линейного программирования? Что называется оптимальным решением задачи линейного программирования?
2. Какая игра называется матричной? Что называется матрицей игры?
3. Что такое производственная функция?
4. Найдите максимальное значение целевой функции 
при ограничениях
и запишите для неё двойственную задачу.
5. Найдите значения параметра а, при котором транспортная задача
| тарифы | запасы | |||
| 60+2а | ||||
| потребности | 100+а | |||
будет закрытой.
6. Фирма может выставить на рынок 4 вида товаров. Рынок может находиться в 5 состояниях, в зависимости от которых доходы фирмы в денежных единицах представлены матрицей 
.
Требуется составить модель матричной игры и найти
а) нижнюю цену игры и все максиминные стратегии игрока 1;
б) верхнюю цену игры и все минимаксные стратегии игрока 2;
в) цену игры и седловые точки, если они существуют;
7. Дана функция полезности 
. Найти уравнения кривых безразличия.
Вариант №2
1. Что называется канонической формой задачи линейного программирования?
2. Что называется нижней ценой игры и максиминной стратегией игрока 1? Сформулируйте правило нахождения нижней цены игры и максиминной стратегии.
3. Какой вид имеет функция Кобба-Дугласа?
4. Найдите максимальное значение целевой функции 
при ограничениях
и запишите для неё двойственную задачу.
5. Найдите значения параметра а, при котором транспортная задача
| тарифы | запасы | |||
| 60+3а | ||||
| потребности | 100+а | |||
будет закрытой.
6. Фирма может выставить на рынок 4 вида товара. Рынок может находиться в 5 состояниях, в зависимости от которых доходы фирмы в денежных единицах представлены матрицей 
.
Требуется составить модель матричной игры и найти
а) нижнюю цену игры и все максиминные стратегии игрока 1;
б) верхнюю цену игры и все минимаксные стратегии игрока 2;
в) цену игры и седловые точки, если они существуют;
7. Дана функция полезности 
. Найти уравнения кривых безразличия.
Дана функция полезности.
Вариант №3
1. Сформулируйте теорему двойственности.
2. Что называется верхней ценой игры минимаксной стратегией игрока 2? Сформулируйте правило нахождения верхней цены игры и минимаксной стратегии.
3. Что называют функцией полезности?
4. Найдите максимальное значение целевой функции 
при ограничениях
и запишите для неё двойственную задачу.
5.Найдите значения параметра а, при котором транспортная задача
| тарифы | запасы | |||
| 60+2а | ||||
| потребности | 200+а | |||
будет закрытой.
6. Фирма может выставить на рынок 4 вида товара. Рынок может находиться в 5 состояниях, в зависимости от которых доходы фирмы в денежных единицах представлены матрицей 
.
Требуется составить модель матричной игры и найти
а) нижнюю цену игры и все максиминные стратегии игрока 1;
б) верхнюю цену игры и все минимаксные стратегии игрока 2;
в) цену игры и седловые точки, если они существуют;
7.Издержки типографии на выпуск одного журнала определяются формулой 
, где х- расходы на оплату рабочей силы, руб., у – затраты на материалы. При каких значениях х и у издержки производства будут минимальными, если затраты на один журнал составляют 9 руб.
Вариант №4
1.Какие транспортные задачи называются закрытыми, какие открытыми? Каким образом открытая транспортная задача приводится к закрытой?
2. Что понимают под игрой с природой? Когда принятие решений происходит в условиях неопределённости и в условиях риска?
3. Что такое линия безразличия?
4. Найдите максимальное значение целевой функции 
при ограничениях
и запишите для неё двойственную задачу.
5. Найдите значения параметра а, при котором транспортная задача
| тарифы | запасы | |||
| 80+2а | ||||
| потребности | 250+а | |||
будет закрытой.
6. Фирма может выставить на рынок 4 вида товара. Рынок может находиться в 5 состояниях, в зависимости от которых доходы фирмы в денежных единицах представлены матрицей 
.
Требуется составить модель матричной игры и найти
а) нижнюю цену игры и все максиминные стратегии игрока 1;
б) верхнюю цену игры и все минимаксные стратегии игрока 2;
в) цену игры и седловые точки, если они существуют;
7. . Общие издержки производства заданы функцией
,
где х и у - соответственно количество товаров А и В. Общее количество произведённой продукции должно быть равно 500 ед. Сколько единиц товара А и В нужно производить, чтобы издержки на их изготовление были минимальными?
Решения
Вариант №1
1.Допустимым решением (планом) задачи линейного программирования называется любое неотрицательное решение её системы линейных ограничений.
Оптимальным решением (планом) задачи линейного программирования называется такое допустимое решение задачи, при котором целевая функция достигает экстремума.
2. Конечная антагонистическая игра называется матричной игрой формата m 
n, где m – число стратегий игрока 1, а n – число стратегий игрока 2.
Матричная игра формата
полностью задаётся матрицей размерности ,называемой матрицей игры:
А= 
,
где m- число стратегий игрока 1, n- число стратегий игрока 2; 
-выигрыш игрока 1, при условии, что он примет стратегию с номером i , а игрок 2 примет стратегию с номером j, то есть в ситуации (i,j).
3. Производственные функции описывают зависимость производственного результата от используемых в данном процессе ресурсов.
На практике для упрощения модели используют двухфакторную производственную функцию 
, где 
- материальные ресурсы, а 
- трудовые ресурсы.
Производственная функция должна удовлетворять следующим условиям:
1. 
, т.е.без затрат ресурсов нет выпуска.
2. 
возрастающая по каждой переменной, т.е. с увеличением ресурсов выпуск растёт.
3. - выпуклая, т.е. при одних и тех же увеличениях затрат прирост производства тем меньше, чем больше выпуск продукции (закон убывания эффективности).
Вариант № 2
1. Каноническая форма задачи линейного программирования: требуется найти максимум или минимум линейной функции на множестве неотрицательных решений системы линейных уравнений.
При перехода от общей задачи линейного программирования к канонической форме вводят дополнительные переменные 
, и неравенства вида 
заменяются уравнениями 
, а неравенства вида 
-уравнениями 
,( i = 1, 2, … , m).
2. Пусть (аij) –матрица игры формата .
Нижней ценой матричной игрыназывается величина v= 
.
Стратегия игрока 1, гарантирующая ему получение выигрыша не менее v, называется максиминной стратегией игрока 1.
Правило нахождения нижней цены игры и максиминной стратегии:
1) находим в каждой строке матрицы игры минимальный элемент и выписываем его в отдельный столбец;
2) выбираем в построенном столбце максимальный элемент или элементы, если их окажется несколько. Он (они) и будут равны нижней цене игры, а номера строк, в которых расположены эти элементы будут соответствовать максиминным стратегиям игрока 1.
3. Производственная функция 
, где 
, 
, 
устанавливающая зависимость стоимости созданного продукта, от затрат труда - х и затрат капитала - у, где α и β – коэффициенты, называется функцией Кобба-Дугласа.
Предельная производительность труда, показывающая, сколько дополнительных единиц продукции приносит дополнительная единица затраченного труда, – это частная производная от К(х,у) по х. Предельная фондоотдача – это частная производная выпуска продукции по объёму фондов.
Вариант № 3
1.Наиболее часто встречаются следующие пары взаимно двойственных задач:
(I) и 
(II).
В двойственных задачах коэффициенты при переменных в целевой функции и свободные члены в системе ограничений, записанные в правых частях, меняются местами; целевая функция двойственной задачи должна минимизироваться, если в исходной она максимизировалась, и наоборот; знаки неравенств в системе ограничений изменяются на противоположные.
Имеет место следующая теорема двойственности:
Если одна из двойственных задач линейного программирования имеет решение, то и другая задача также имеет решение, причём Lmax = L1min.
2. Пусть (аij) –матрица игры формата .
Верхней ценой матричной игрыназывается величина 
= 
.
Стратегия игрока 2, запрещающая игроку 1 получение выигрыша большего 
,называется минимаксной стратегией.
Правило нахождения верхней цены игры и минимаксной стратегии:
1) находим в каждом столбце матрицы игры максимальный элемент и выписываем его в отдельную строку;
2) выбираем в построенной строке минимальный элемент или элементы, если их окажется несколько. Он (они) и будут равны верхней цене игры, а номера столбцов, в которых расположены эти элементы будут соответствовать минимаксным стратегиям игрока 2.
3. Если каждому набору ( 
), где x и y – количество единиц первого и второго вида товаров, поставить в соответствие потребительскую оценку этого набора в виде некоторого числа u, то получим функцию полезности потребителя u=u( ), при этом, если 
, то набор 
предпочтительнее 
.
В качестве товаров, или благ могут выступать, например, продовольственные товары, непродовольственные товары, платные услуги и т.д.
Частные производные от функции полезности потребителя называются предельными полезностями соответствующих продуктов:
– предельная полезность первого продукта;
– предельная полезность второго продукта.
Свойства функции полезности
1. Возрастает по каждой переменной, т.е. потребление одного продукта при постоянном потреблении другого приводит к росту функции полезности и, следовательно, предельные полезности неотрицательны.
2. Предельная полезность уменьшается с ростом каждой переменной (Закон убывания предельной полезности), т.е. частная производная от предельной полезности продукта по той же переменной должна быть отрицательной, и тогда
, 
.
3. Вторая частная производная от предельной полезности продукта по другой переменной должна быть положительной, т.е. предельная полезность увеличивается с ростом другой переменной (другого продукта). Таким образом,
.
Вариант № 4
1. В общем виде транспортная задача формулируется следующим образом:
составить оптимальный план перевозки груза от m поставщиков, у которых имеется, соответственно, а1, а2, …, аi …, am единиц груза к n потребителям которых составляют b1, b2, …, bj, …, bn единиц груза, соответственно, если известно, что стоимость перевозки единицы груза (тариф) от i-го поставщика к j -му потребителю составляет Сij денежных единиц.
Общий объем груза, находящийся у всех поставщиков, составляет
а1 + а2 + … + аm = 
(ед.).
Суммарная потребность в грузах всех потребителей равна
b1 + b2 + … + bn = 
(ед.).
Если = то такая транспортная задача называется закрытой, в противном случае - открытой.
В случае открытой транспортной задачи для её решения необходимо привести её к закрытой путем введения либо фиктивного поставщика (когда потребности превосходят ресурсы), либо фиктивного потребителя (когда ресурсы превосходят потребности). Фиктивных поставщиков и потребителей включают в задачу с нулевыми тарифами, чтобы они не оказывали влияния на целевую функцию.
2. Если один из игроков, как правило, игрок 2, является стихийной силой (например, покупательский спрос, уровни температур или влажности окружающей среды и т.д.), то такие игры называют играми с природой или средой.
Если игрок знает только, какие могут быть состояния среды, то происходит принятие решения в условиях неопределённости. Если же игрок имеет дополнительную информацию о поведении среды, например, известен прогноз погоды или вероятности наступления тех или иных её состояний, то в этом случае говорят о принятии решения в условиях риска.
3. Линии уровня функции полезности 
называются линиями безразличия. Множество линий безразличия называется картой линий безразличия.
у C1 C2 C3
 |
 |
0 х
< 
. Линии безразличия не касаются и не пересекаются.
