Сила роста

Если в формуле (1,19), определяющей наращенную сумму при использовании номинальной процентной ставки наращения, периоды начисления процентов постоянно уменьшать , то количество этих периодов в году будет увеличиваться . Такое начисление процентов называется непрерывным, а процентная ставка при непрерывном начислении называется силой роста . Большое значение непрерывное наращение имеет в анализе сложных финансовых проблем, например , при анализе характеристик ценных бумаг.

Сила роста называется постоянной , если она не изменяется во времени . Если сила роста изменяется во времени, то она называется переменной.

Формула для наращения суммы при непрерывном начислении процентов для постоянной силы роста δ :

 

 

S =

 

Формула для наращения суммы при непрерывном начислении процентов :

S = P (1.22)

 

δ = -1 (1.23)

 

По формулам (1,23) можно, в частности, зная дискретные ставки ценных бумаг , расcчитывать силу роста этих бумаг.

♦Пример 1.19

Определить силу роста и наращенную сумму при дискретном и непрерывном начислении , если на сумму 3000 руб. начисляются проценты по сложной годовой ставке i = 22% в течении 3,5 лет.

Решение:

 

δ =ln(I+i) = lnl,22 = 0,19885984, или 19,885%

 

Наращенная сумма при непрерывном начислении:

 

S=P =3000 =6017,08 руб.

Наращенная сумма при дискретном начислении:

 

S=P( =3000( =6017,08 руб.

 

Таким образом, наращенные суммы при дискретном и непрерывном начислениях совпали.

Если считать ,что переменная сила роста изменяется во времени ( =f(t) , то наращенная сумма и современная стоимость определяются соотношениями:

S=P exp( dt),P=S exp(- dt).

Рассмотрим случаи изменения силы роста по линейному закону и по экспоненте.

 

 

♦Пример 1.20

Определить современную стоимость суммы 5000 руб., выплачиваемой через 2,8 года , при линейном изменении силы роста , когда начальное значение силы роста =0,12,а прирост силы роста а = 0,1

Решение:

P=Sexp (-( n+ ))=5000(exp(-(0,12 2,8+ =2414,368.

♦ Пример 1.21

На годовой депозит можно положить денежные средства под 10% годовых, а на полугодовой – под 9,75% годовых. Что выгоднее – положить свободные денежные средства на годовой депозит, или два 100 тыс.$ и одним потерянным днём при переоформлении депозита можно пренебречь?

Решение:

Если денежные средства положить на годовой депозит, то наращённая сумма:

S=100 1,1 = 110 тыс.$.

Если два раза воспользоваться полугодовым депозитом, то наращённая сумма:

= 109,98766тыс.$.

Выгоднее воспользоваться годовым депозитом и выигрыш

=12,34 $.

♦Пример 1.22

На сумму долга в течении 4 лет начисляются проценты по ставке 9% годовых. Насколько возрастёт наращённая сумма, если проценты будут капитализироваться поквартально?

 

Решение:

При ежегодной капитализации процентов множитель наращения равен , а при ежеквартальной капитализации - , т.е он будет больше в 1,01136 раза.

Наращённая сумма увеличится на 1,136% .

 

Определение срока ссуды и величины процентной ставки.

Рассмотрим методы определения срока ссуды и величины процентной ствки для номинальной ставки и для линейного изменения силы роста.

Из формулы (1.17) находим:

J=m . (1.25)

 

♦Пример 1.23

За какой срок суммы ,равная 20 000руб.,достигнет 40 000руб. при начислении по сложной процентной ставке 19% годовых?Рассмотреть случаи помесячного начисления процентов один раз в год.

Решение:

 

J=m . (1.26)

При начислении процентов раз в году формула приобретает вид:

n= = = 3,98 года.

Таким образом ,срок ссуды при начислении раз в году больше срока ссуды при помесячном начислении.

 

♦Пример 1.24

Финансовый инструмент куплен за 50 000 руб., его выкупная цена через 1,8 года составит 70 000руб., проценты начисляются один раз в месяц. Определить доходность операции в виде номинальной ставки и годовой ставки сложных процентов.

Находим номинальную процентную ставку по формуле (1.26):

J=m =0,188393, или 18,84%

Определяем доходность операции в виде годовой ставки сложных процентов, используя соотношение:

I= )-1=( -1=0,2055,или 20,55%

Определение срока платежей и силы роста при остальных известных параметрах для случая непрерывного начисления процентов рассмотрим на примере линейного изменения силы роста от времени. Преобразуя формулу (1.24) можно определить искомые величины:

n= , (1.27)

Знак «плюс» перед корнем выбран из-за условия n>0

♦Пример 1.25

За какой срок сумма, равная 44000 руб., достигнет 100 000 руб. при непрерывном начислении процентов? Сила роста во времени изменяется по линейному закону, начальное значение силы роста =0,12,а прирост силы роста a=0,1.

Решение:

n= = = 3,026 года.

♦Пример 1.26

Определить начальное значение силы роста при её линейном изменении во времени, если долг за 2,5 года увеличится с 16 000руб. до 30 000 руб. при приросте силы роста a=-0,1.

Решение:

= = 0,3764, или 37,64%

♦Пример 1.27

Через сколько лет первоначальная сумма депозита возрастёт в два раза,если на вложенные средства начисляется 9,75% годовых и:а)используются простые проценты, б)сложные проценты с полугодовой капитализацией?

Решение:

Для простых процентов множитель наращения

1+n =2,

т.е. n=10,256 года. При использовании сложных процентов множитель наращения:

=2

т.е n= :(2 )=7,281 года.

♦Пример 1.28

По трёхмесячному депозиту назначена ставка 10,2% годовых. Какую ставку годовых процентов следует назначить на месячные депозиты, чтобы последовательное переоформление этих депозитов привело бы к такому же результату, что и использование трёхмесячного депозита ,если пренебречь двумя днями, которые теряются при переоформлении депозитов(k=360)?

Решение:

Прировняем соответствующие множители наращения:

1+ =

Отсюда получаем, что i= 0,101145≈10,11%