В ТЕОРИИ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ

 

Принцип наложения является одним из важнейших свойств линейных цепей и систем. Он является следствием линейности их уравнений. Этот принцип позволяет искать общее решение линей­ных уравнений как линейную комбинацию, т. е.наложение более простых частных решений. В применении к цепям он формули­руется так: реакция линейной цепи на сумму воздействий равна сумме ее реакций на каждое из воздействий в отдельности.

Пример4.1.

Найти ток в последовательном колебательном контуре при воздействии на его вход прямоугольного видеоимпульса (рис. 14.1, в).

Решение.

1. Заданное воздействие и(t) представим в виде наложения двух более про­стых функций (рис. 14.1,6):

.

Каждая из этих функций представляет ступенчатое воздействие. Функция u1(t) соответствует включению контура в момент времени t=0на постоянное напряжение Um, а u2(t)—его включению в момент t=tИ на напряжение — Um. В сумме действие этих двух напряжений эквивалентно заданному воздействию.

2. Известно, что при включении последовательного колебательного контура на постоянное напряжение Um в нем появляется ток

Если же контур включить в момент t=tИ на напряжение —Um, то в нем появится ток

3. Значение тока в контуре при заданном воздействии находим наложением двух частных решений (рис. 14.2):

 

Обычно при решении любой сложной задачи удается выделить наиболее благоприятный случай, т. е. случай более простой, чем


общий, приводящий к частному решению. Такое решение легко получается, но в общем случае силы не имеет. Затем, объединяя путем наложения частные случаи, к которым применимо ограни­ченное решение, можно получить полное решение, пригодное в об­щем случае.

Принцип наложения является отражением одного из общих методов научного исследования, в основе которого лежит разбие­ние сложной задачи на ряд более простых. Он лежит в основе многих методов расчета и анализа процессов в линейных цепях и системах. К их числу относится, например, классический времен­ной метод анализа переходных процессов. Этим методом весь процесс рассматривается как наложение двух режимов: свобод­ного и вынужденного, а полное решение неоднородного дифферен­циального уравнения — как сумма полного решения однородного и частного решения неоднородного уравнения. Другим примером является классический спектральный метод, получивший широкое применение как в теории цепей, так и в технике эксперимента. В. его основе лежит применение ряда и интеграла Фурье, которые позволяют представить входной сигнал суммой простых гармони­ческих составляющих.

В случае когда на линейную цепь действует сигнал сложной формы и требуется найти ее реакцию как временную функцию, т. е. определить характер переходного процесса или сигнала на выходе цепи, классический временной метод малоэффективен. Для решения подобных задач используется метод интеграла свертки, основанный также на принципе наложения. Идея подхода к реше­нию задачи этим методом следующая. Допустим, что внешнее воздействие x(t) можно представить совокупностью более про­стых, аналитически однотипных функций Xk(t),т.е.


Если найти реакцию исследуемой линейной цепи yk(t) на воз­действие xk(t), то на основании принципа наложения можно утвер­ждать, что реакция цепи y(t) на заданное воздействие x(t) равна сумме реакций yk(t), т. е.

Таким образом, полное решение задачи распадается на два этапа: первый — определение реакции цепи на заданное простое воздействие xk(t) и второй — суммирование или наложение част­ных решений yk(t).

Очевидно, вид функции yk(t) при заданном типе элементарного воздействия xk(t) зависит только от схемы и параметров электри­ческой цепи. При этом yk(t) можно рассматривать как некоторую временную характеристику исследуемой цепи. Она находится ана­литически или экспериментально: расчетным или опытным путем.

Систему функций xk(t) необходимо выбрать так, чтобы, во-первых, их совокупность позволяла представить любую функцию внешнего воздействия, имеющую физический смысл, и, во-вторых, определение временных характеристик цепи не представляло быбольшого труда.

В качестве элементарных воздействий применяется несколько стандартных типовых сигналов. Реакция цепи на каждый из них представляет разновидности временных характеристик.