Кристаллография

Теперь я перейду к последнему и во многом наиболее красноречивому примеру теоретической оценки упорядоченности в точных науках. Это история кристаллографии

в ее взаимоотношениях с опытом.

С древнейших времен внимание людей приковывала камни необычной формы. Их удивительным свойством является правильность, которая радует глаз и возбуждает воображение. Камни, обладающие множеством плоски? граней и прямых ребер, возникающих в местах их пересечения, всегда служили источником интереса, в особенности если они к тому же обладали красивым цветом, как, например, рубины, сапфиры или изумруды. Эта притягательность заключала в себе намек на какое-то скрытое значение, которое заставляло примитивный разум приписывать драгоценным камням магическую силу. В дальнейшем это стимулировало научное изучение кристаллов, в котором сформировались все возможные подходы к ним с пози»

ций интеллекта.

В первую очередь здесь был выдвинут идеал правильной формы, позволивший выделить, с одной стороны, тела, стремящиеся к этому идеалу, а с другой — тела, в которых

' См.: Whittaker E. Eddington's Principle in the Philosophy of Science. Cambridge, 1951, p. 23.

аевозмежн® усмотреть тенденцию к правильной форме. К телам первого рода .относятся кристаллы, к телам второго рода — бесформенные (иди аморфные) тела, например стекло. В соответствии с этим каждый отдельный кристалл рассматривается как воплощение идеала регулярности, и, если в нем встречаются какие-то отклонения от правильной формы, дни расцениваются как признаки несовершенства. Представление об идеальной форме зиждется на идеализации плоских граней кристаллов, которые интерпретируются как геометрические плоскости, ограниченные абсолютно прямыми ребрами, возникающими в местах пересечения плоскостей; эти плоскости ограничивают кристалл со всех сторон. Таким образом, форма кристалла теоретически формализуется как многогранник. Это представление отражает лишь те особенности реальных кристаллов, которые согласуются с идеей регулярности; в этом смысле оно и соответствует опытным фактам. И как бы ни отклонялся реальный кристалл от формы, предписанной ему теорией, это всегда рассматривается как несовершенство кристалла, но не теории.

Итак, каждому типу кристалла в теории ставится в соответствие определенный многогранник, и следующей задачей кристаллографии становится выявление того принципа, который лежит в основе правильности этих многогранников. Таким принципом оказывается симметрия кристаллов. Значение слова «симметрия» почти столь же широко, как значение слова «порядок». Применяя его к объектам, мы можем различать, например, симметричные и несимметричные лица. Косоугольный треугольник является несимметричным, а равнобедреный—симметричным, но равносторонний треугольник обладает в сравнении с равнобедренным еще большей симметрией. Симметрия выступает, таким образом, как некий стандарт, которому удовлетворяют или не удовлетворяют наблюдаемые объекты и который сам по себе может обладать различными степенями совершенства.

Симметрия такого рода предполагает возможность преобразования одной части фигуры или тела в другую ее часть путем применения определенной операции, например зеркального отражения. Зеркальное отражение правой руки подобно левой руке, поэтому тело, имеющее две руки, является симметричным. Тот факт, что равносторон-яий треугольник более симметричен, чем равнобедренный, можно обосновать тем, что он имеет не одну, а три плоско-

сти симметрии. Вместе с тем мы можем предложить новую операцию для установления симметрии, заметив, что равносторонний треугольник совпадает с самим собой при повороте на 120° вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр. Мы можем без труда придумать операции для установления симметрии различных правильных фигур, чтобы затем, обобщив этот принцип, перейти к правильным телам. Пример с равносторонним треугольником показывает, что наличие трех плоскостей симметрии, пересекающихся по одной прямой и образующих между собой углы в 120°, превращает линию их пересечения в тройственную ось симметрии. Геометрия правильных тел рассматривает такого рода сочетания различных типов элементарной симметрии и устанавливает возможности использования их комбинаций в одном и том же многограннике. Открытие принципа кристаллической симметрии основывается на допущении, что в кристаллах имеется всего тесть типов элементарной симметрии (отражение, инверсия, двойное, тройное, четырехкратное и шестикратное вращение). Из этого был сделан вывод, что 32 возможные комбинации этих шести элементарных типов симметрии исчерпывают все разновидности симметрии кристаллов.

Эти 32 класса симметрии являются в данной теории основным и единственным средством классификации кристаллов. Они представляют собой различные формы упорядоченности. Как идеальный многогранник, соответствующий данному типу кристаллов, исчерпывающе характеризует правильность этой кристаллической структуры, так же и тот класс симметрии, к которому относится многогранник, исчерпывающе характеризует правильность многогранника. И если одному многограннику соответствует бесчисленное множество кристаллов, имеющих различные изъяны, то один класс симметрии воплощается в бесчисленных многогранниках, многообразие которых обусловлено неопределенностью сочетания различных плоскостей в вариациями их относительной протяженности.

Каждый класс симметрии задает особый стандарт совершенства и упорядоченности, к которому приближаются наблюдаемые кристаллы; с другой стороны, сами эти стандарты обладают различной степенью совершенства. 32 класса симметрии можно выстроить в однозначную линейную последовательность по принципу уменьшения степени симметричности — от высшей кубической симмет рп» до низшей триклинной. Этой последовательности соответ-

76.

ствует отдомное количество многогранников разной формы; но только формы, относящиеся к высшим классам, обладают достаточной красотой, чтобы кристаллы, в которых они воплощаются, ценились как драгоценные камни.

Таким образом, здесь мы имеем исчерпывающую формализацию нашей оценки той регулярности, которую мы усматриваем в кристаллах, в том числе представление о различных типах этой регулярности, которые к тому же ранжированы по степеням. Дальнейший анализ соотношения этого формализма с опытом я пока отложу, чтобы рассмотреть ту скрытую структурную схему, которая по современным понятиям служит основой рассматриваемой теории.

Выдвинутая в дискуссиях XIX в. и с триумфом подтвердившаяся в самом начале нашего столетия атомная теория кристаллов определила эту схему, объединив и расширив ту систему упорядоченности, которую задают 32 класса симметрии. Значение плоскостей и ребер, ограничивающих кристалл, в этой теории стало еще меньшим. Теперь эти отличительные признаки рассматриваются как проявления внутренней упорядоченности атомных структур, из которой абсолютно однозначно выводятся 32 класса симметрии.

Принцип регулярности атомных структур является приложением принципа симметрии. Если операция, которая приводит к совпадению одной части фигуры с другой ее частью, определяется как показатель симметрии, любая повторяющаяся структура (например, рисунок обоев) может считаться симметричной, поскольку операция параллельного переноса будет обеспечивать ее совпадение с самой собой; эффекты, возникающие при этом на краях, можно не принимать во внимание, если размер повторяющейся структуры существенно меньше размера целого. Такая регулярная ритмизация пространства может наблюдаться в одномерном, двухмерном, трехмерном случаях, а также в случаях более высоких размерностей. Структурная теория кристаллов строится исходя из предположения, что они представляют собой регулярные повторяющиеся трехмерные атомные структуры.

Определенные сочетания атомов, которые воспроизводятся и беспредельно распространяются по всем направлениям, обладают, как легко увидеть, теми же признаками симметрии, которые мы обнаруживаем в кристаллах. Благодаря определенным альтернативным возможностям регу-

лярных атомных структур, которые не прослеживаются на макроуровне и не влияют на форму кристаллов, трехмерные атомные образования насчитывают 230 типов различной ритмической организации. Они проявляются всего в 32 типах регулярности кристаллов.

Теперь мы можем наконец перейти к вопросу, на каких основаниях мы принимаем кристаллографическую теорию.

Теоретическое представление 32 классов симметрии п 230 повторяющихся структур, называемых «пространственными группами», является по своей сути геометрическим. Иными словами, все утверждения этой теории выводятся из определенного набора аксиом. Пространственные структуры, которые мы себе представляем, чтобы наполнить эти утверждения содержанием, являются не более чем возможной моделью этой теории. Однако даже в такой форме геометрия ничего не сообщает об опыте. Основаниями для принятия этой теории являются для нас в первую очередь ее логичность, изощренность и глубина. Но потенциально она все же опирается на опыт, поскольку всегда существует возможность, что в опыте для нее найдутся модели. Это могут быть искусственные, специально придуманные модели. Коэн и Нагель иллюстрируют это следующим примером. Они описывают банк, в котором есть семь партнеров, составляющих семь руководящих комитетов, так, что каждый партнер является председателем одного из комитетов и всякий партнер входит в три, и только в трп, комитета. Можно показать, что в структуре этих комитетов воплощаются семь аксиом геометрии и тем самым все геометрические теоремы приложимы к взаимоотношениям банка, партнеров и комитетов '.

С другой стороны, интерпретация геометрии может быть обнаружена в естественной упорядоченности вещей. Наше концептуальное воображение, как и его двойник — воображение художественное, черпает вдохновение в соприкосновении с действительностью. И подобно произведениям искусства, математические конструкции направлены на обнаружение тех скрытых принципов, случайные проявления которых послужили исходным толчком для творческого процесса, приведшего к созданию этих конструкций.

Когда упорядоченность, усматриваемая в опыте, расцениваетсякак воплощение геометрии, становится возмож-

' С о h e n M. R. arid N a g е 1 Е. An Introduction to Logic and Scientific Method. London and New York, 1936, p. 133—139.

ной проверка соответствия геометрии и опыта. Наблюдение явлений, связанных с принципом относительности, предоставило возможность экспериментального решения вопроса, является ли материальная Вселенная примером геометрии Римана, которую Эйнштейн сформулировал с помощью понятий пространства и времени, допустив, что траектории представляют собой геодезические линии.

Но вернемся снова к 32 классам симметрии и 230 пространственным группам. 32 класса определяют группы многогранников, а 230 пространственных групп определяют организацию точек в пространстве. Эти геометрические конструкции возникли в результате созерцания кристаллов и размышлений об их атомной структуре. Поэтому он» исходно направлены на эту действительность, и только путем прослеживания этой их отнесенности в наблюдении мы можем обрести какие-то эмпирические основания для принятия кристаллографической теории.

Для краткости я ограничусь рассмотрением теории пространственных групп. Допустим, мы правильно вывели и^ наших посылок представления о 230 группах. Тогда обращение к опыту способно лишь показать, встречаются или не встречаются в реальности примеры атомных структур, в которых воплощены наши посылки. Может существов1ть множество тел, которые не являются воплощением постулированных нами принципов, и среди них тела, напомпна ющие по форме кристаллы (например, нерегулярные твердые растворы); но это не говорит о внутренней npoin-поречивости теории и поэтому никак не влияет на установление ее истинности. Следовательно, никакое мыслимое-событие не может опровергнуть этой теорий. Я уже отмечал, что кристаллографическая теория примерно так же относится к опыту, как альтернативные геометрии относятся к действительному строению Вселенной. Но между этими двумя случаями есть одно существенное различие; если материальная Вселенная только одна и может служить примером, подтверждающим лишь одну из геометрий, то кристаллов существует великое множество и каждый из них является примером одной из 230:вбзможных пространственных групп, объединенных в рамках единой теории. В данном случае соотношение теории и опыта скорее напоминает соотношение классификационных систем, существующих, скажем, в зоологии или ботанике, и тех живых' существ, которые с их помощью классифицируются Но ввиду того, что в нашем случае классификация опирается

на априорную геометрическую теорию упорядоченности, ее отношение к опыту в еще большей степени напоминает специфику произведения искусства, которое заставляет нас видеть опыт в его собственном свете.

Классификация является значимой, если отнесение объекта к одному из предусмотренных в ней классов позволяет многое узнать об этом объекте. Можно сказать, что объекты классифицируются в такой системе соответственно своим отличительным особенностям. Представления об отличительных особенностях 230 пространственных групп, так же как и о 32 классах симметрии кристаллов, основываются исключительно на нашей оценке порядка; в терминах разных видов симметрии здесь воплощается то стремление к универсальности, которое присуще нашим личным представлениям об упорядоченности. При этом данная система, как и геометрическая теория кристаллов в целом, полностью оправдала себя в решении задач классификации. В соответствии с ней был осуществлен сбор, описание и структурный анализ огромного числа образцов кристаллов; анализ физических и химических свойств кристаллов также целиком подтвердил эту систему. Иначе говоря, она содержит в себе принцип естественной классификации.

Итак, перед нами система знания, значение которой для понимания опыта трудно переоценить; в то же время, к ней совершенно неприменимы представления о фальсификации. Факты, не описанные в теории, не создают для нее никаких затруднений, поскольку просто не имеют к ней отношения. Такая теория служит средством выражения и понимания, способным охватить ту область опыта, на которую она направлена, и просто игнорирует то, что не входит в сферу ее компетенции.

В этом плане можно сказать, что кристаллографическая теория является трансцендентной по отношению к тому опыту, к которому она прилагается. Но эта трансцендентность, делающая всякую эмпирическую теорию неуязвимой перед лицом опытного опровержения, присуща, конечно, любой форме идеализации. Теорию идеального газа нельзя опровергнуть, наблюдая отклонения от нее, если мы с самого начала условились не принимать эти отклонения во внимание. Все такого рода идеализации в действительности содержат элемент того созерцательного отношения, примером которого является априорный характер конструкции и принятие полной системы симметрии. Мы можем с абсолютной уверенностью придерживаться концепции пде-

ального газа, если мы при этом убеждены в своей способности усматривать в природе определенную фундаментальную упорядоченность, которая проявляется в формах меньшей упорядоченности. Но в теории кристаллических симметрии идеализация идет гораздо дальше. Ибо стандарты. совершенства, задаваемые этой системой, обладают гораздо большей степенью внутренней значимости, чем те, на которые может претендовать формула pV==RT, Это не просто научная идеализация, но также и формализация эстетического идеала, отличающаяся той же глубиной и необъяснимостью проницательности, которая присуща искусству и художественной критике. Эта теория учит нас рассматривать определенные вещи независимо от того, находим мы их в природе или не находим; она также заставляет нас подходить критически к тому, что мы все-таки находим, ориентируясь на те стандарты, которые эта теория задает для природы.

Здесь мы приходим к пониманию важнейшей альтернативы к таким расхожим противопоставлениям, как объективные и субъективные суждения или же аналитические и синтетические суждения. Уверовав в нашу способность иыдвигать валидные суждения, имеющие универсальное аначение в рамках точных естественных наук, мы можем избежать той бесплодности и путаницы, к которым приводит использование этих традиционных категорий.