Теорема 2. Критерий линейной независимости

Для того, чтобы система векторов была линейно независимой, необходимо и достаточно, чтобы равенство (1) влекло за собой равенство нулю всех .

Доказательство:

Необходимость.Пусть ,…, линейно независимы. Предположим противное, т.е. что имеет место (1) и из него не следует . Тогда , а . По теореме 1 система ,…, линейно зависима, что противоречит условию.

Достаточность.Пусть равенство (1) влечет . Предположим, противное, т.е. ,…, линейно зависимые. Тогда по теореме 1 найдутся такие, что , что противоречит условию. ■

Пример. Доказать, что:

а) векторы и линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарные;

б) векторы , , линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны.

Доказательство:

а) Пусть . Если , то и коллинеарность и влечет линейную зависимость и .

Если и коллинеарные, то согласно признаку коллинеарности, существует такое , что , т.е. , , и линейная зависимость и очевидна.

б) Пусть , и компланарны. Если векторы и коллинеарные, то из доказанного следует при некоторых и таких, что . Но тогда , причем , т.е. , , линейно зависимы.

Пусть теперь компланарные векторы , , таковы, что и не коллинеарные. Тогда вектор можно разложить по базису : . Отсюда , причём , т.е. , , линейно зависимы.

п. 5 Линейные операции над векторами
в координатной форме

Пусть – некоторая аффинная система координат в пространстве.

Теорема 1. Пусть векторы и . Тогда:

1. ;

2.

Доказательство:

1. Рассмотрим векторы и : , . Тогда сумма векторов и : .

2. . ■