Краткие теоретические сведения
Система n линейных уравнений с n неизвестными x1, x2,. . . , xn
(1)
называется системой линейных уравнений n-го порядка; aij – коэффициенты, bi– свободные члены системы.
Численные методы решения систем линейных уравнений делятся на прямые и итерационные.
Прямые методы позволяют получить в принципе точное решение за конечное количество арифметических операций, однако при увеличении порядка n системы возрастает погрешность вычисления неизвестных x1, x2, . . . , xn.
Итерационные методы позволяют получать решение с заданной точностью на основе алгоритмов, использующих последовательное приближение (итерацию), однако эффективность итерационных алгоритмов существенно зависит от удачного выбора начального приближения и быстроты сходимости итерационного процесса.
Один из прямых методов, который достаточно просто реализуется средствами Microsoft Excel, использует вычисление обратной матрицы.
Если представить систему линейных уравнений (1) в матричном виде
, (2)
где – матрица коэффициентов,
– вектор-столбец неизвестных,
– вектор-столбец свободных членов, то решение системы (2) находится следующим образом
(3)
где – матрица, обратная к матрице .
Пример
Найти решение системы линейных уравнений
(4)
двумя методами: прямым, с использованием обратной матрицы, и итерационным. Сравнить полученные решения.