Основные определения

Понятие множества является фундаментальным неопределяемым понятием. Интуитивно под множеством понимают совокупность вполне определенных различаемых объектов, рассматриваемых как единое целое.

Природа объектов может быть самой различной. Так, можно гово­рить о множестве стульев в комнате, людей, живущих в Томске, сту­дентов в группе, о множестве натуральных чисел, букв в алфавите, состояний системы и т.п. Но нельзя, например, говорить о множестве капель в стакане воды, так как невозможно четко и ясно указать каж­дую отдельную каплю, капли неразличимы между собой.

Отдельные объекты, из которых состоит множество, называют его элементами.

Для обозначения конкретных множеств принято использовать прописные буквы A, S, X, ... . Для обозначения элементов множества используют строчные буквы a, s, x, ... . Множество X, элементами ко­торого являются x₁, x₂, x₃ , обозначают X = {x₁, x₂, x₃}. Это один способ задания множества - перечисление всех его элементов. Он удобен при рассмотрении конечных множеств, содержащих небольшое число элементов. Второй способ задания множества - описательный - состоит в том, что указывается характерное свойство, которым обладают все элементы множества. Так, если M - множество студентов группы, то множество X отличников этой группы записывается в виде

X = {x Î M / x - отличник группы},

что читается следующим образом: множество X состоит из элементов x множества M таких, что x является отличником группы. Множество простых чисел записывается как X = {x / x - простое}. Для указания того, что элемент x принадлежит множеству X, используется запись x Î X. Запись x Ï X означает, что элемент x не принадлежит множеству X.

Множество называется конечным, если оно содержит конечное число элементов, и бесконечным, если число его элементов бесконечно. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым. Пустое множество обозначается Æ, например:

X ={x Î C / x² - x + 1 = 0} = Æ,

где С - множество целых чисел. Пустое множество условно относится к конечным множествам.

 

Два множества X и Y равны в том и только в том случае, когда они состоят из одних и тех же элементов, т.е. X = Y, если x Î X, то x Î Y и если y Î Y, то y Î X.

Множество X является подмножеством множества Y, если любой элемент множества X принадлежит множеству Y. Этот факт записывается как X Ì Y.

Последовательность из n элементов множества называется n-строчкой или кортежем. В n-строчке каждый элемент занимает определенное место, тогда как во множестве порядок расположения элементов роли не играет.

Для сокращения записи в теории множеств используются некоторые логические символы. Это кванторы общности " и существования $, а также символы следствия (импликации) Þ и логической эквивалентности Û. Смысл этих обозначений следующий:

" - «любой», «каждый», «для всех»;

$ - «существует», «найдется», «хотя бы один»;

Þ - «влечет», «имеет следствием»;

Û - «тогда и только тогда», «необходимо и достаточно».

Использование логических символов, например, для определения подмножества, которое может быть сформулировано в виде: для любого x утверждение «x принадлежит X» влечет за собой утверждение «x принадлежит Y», приводит к записи:

"x [x Î X Þ x Î Y].

Запись X Ì Y и Y Ì X Û X = Y означает: для того, чтобы X было равно Y необходимо и достаточно, чтобы X Ì Y и Y Ì X.