Основные определения

ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ

Понятие множестваявляется фундаментальнымпонятием в математике. Под множеством понимают совокуп­ность вполне определенных объектов, рассматривае­мых как единое целое. Отдельные объекты, из которых состоит множество, называют его элементами.Природа объектов может быть самой различной. Например, можно говорить о множестве натуральных чисел, букв в алфави­те, множестве стульев в комнате, студентов в группе, людей, живущих в Томске и т. п.

Для обозначения конкретных множеств принято использовать прописные буквы A, S, X, ... Для обозначения элементов множества используют строчные буквы a, s, х,…

Множество X, элементами которого являются х₁, х₂, х₃, обозначают: X = {x₁, x₂, х₃}. Это первый способ задания множества ­­– перечисление всех его элементов. Он удобен при рассмотрении конечных множеств, содержащих не­большое число элементов.

Второй способ задания множества – опи­сательный. Он состоит в том, что указывается характерное свойство, которым обладают все элементы множества.

Для указания того, что элемент х принадлежит множеству X, использу­ется запись х Î X. Запись х Ï X означает, что элемент х не принад­лежит множеству X.

Так, если М – множе­ство студентов группы, то множество X отличников этой группы записывается в виде

X = {х Î М | х – отличник группы}.

Это читается следующим образом: множество X состоит из элемен­тов х множества М таких, что х является отличником группы.

 

Известные числовые множества обозначим следующим образом:

N = {1, 2, 3, …} – множество натуральных чисел;

Z = {…, -2, -1, 0, 1, 2, …} – множество целых чисел;

Q – множество рациональных чисел;

R – множество действительных чисел.

Множество, не содержащее ни одного элемента, назы­вается пустым.Пустое множество обозначается Æ.

Пример. X = {х Î Z | х² - х + 1 = 0} = Æ.

Множество X является подмножествоммножества Y, если любой элемент множества X принадлежит множеству Y. Этот факт записывается как X Ì Y.

Два множества X и Y равныв том случае, когда они состоят из одних и тех же элементов. Равенство X = Y означает: если х Î X, то х Î Y и если у Î Y, то у Î X.

Для сокращения записи в теории множеств используются неко­торые логические символы. Это символы общности " и существо­вания $, а также символы следствия Þ и эквивалентности Û.

Смысл этих обозначений следующий:

" – «любой», «каждый», «для всех»;

$ – «существует», «найдется», «хотя бы один»;

Þ – «следует», «влечет»;

Û– «эквивалентно», «необходимо и достаточно».

Рассмотрим примеры использования этих символов.

1. Определение подмножества X Ì Y приводит к записи:

" х [х Î X Þ х Î Y].

2. Определение равных множеств X=Y приводит к записи: X = Y Û X Ì Y и Y Ì X.

Множество называется конечным,если оно содержит конеч­ное число элементов, и бесконечным,если число его элементов бесконечно.