Комбинации векторов и точек. Однородное представление координат
Для того чтобы различать математические модели точки и вектора, удобно использовать систему однородных координат (СОК). Трехмерные объекты в такой системе представляются при помощи четырех скалярных величин - для вектора:
(v1, v2, v3, 0)
и для точки
(p1, p2, p3, 1).
Четвертый компонент вектора свидетельствует о том, учитывается начало системы координат или нет (т.е. он показывает, входит в состав объекта начало отсчета или нет).
Представление вектора в матричном виде имеет следующий вид:
v = (ex, ey, ez, l) × = (v1, v2, v3, 0) × ,
а представление точки:
P = (ex, ey, ez, l) × = (v1, v2, v3, 1) × .
Систему однородных координат модно считать признаком аппаратных и программных систем компьютерной графики. Например, она является базовой для стандарта OpenGL.
На практике возможны следующие комбинации векторов и точек:
1) разность двух точек представляет собой вектор:
;
2) сумма точки и вектора является точкой
;
3) сумма двух векторов является вектором
;
4) масштабирование вектора дает в результате вектор
;
5) любая линейная комбинация двух векторов приводит к получению нового вектора
k×v + m×w = .
Перечисленные особенности линейных комбинаций точек и векторов необходимо учитывать в дальнейших преобразованиях;
6) аффинные комбинации точек
Результат этой операции будет иметь смысл только в том случае, если . Если , то результатом операции будет вектор, в противном случае – точка.
Если , то комбинация является аффинной. Таким образом, любая аффинная комбинация точек в результате даст новую точку.
Рассмотрим случай, при котором сумма (f + g)отличается от 0 и 1. В этом случае результат будет зависеть от выбора системы координат. Рассмотрим данный случай на конкретном примере:
0.3∙P + 0.7∙R
2.7∙P – 1.7∙R
|
Таким образом, комбинации, не являющиеся аффинными, дают неоднозначный результат (связанный с выбором системы координат). При использовании аффинной комбинации точка находится на прямой, соединяющей точки . Если линейная комбинация выпуклая ( ), то результат находится внутри отрезка. Если же это условие не соблюдается, то точки находятся на этой же прямой за пределами отрезка P1P2.