V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО
1. Производная. Правила дифференцирования
Пусть функция 
определена в некоторой окрестности точки 
. Придадим значению переменной 
в точке приращение 
, при этом 
получит приращение 
. Если существует конечный предел
,
то он называется производной функции f(x) в точке x0 и обозначается 
. Общеприняты и другие обозначения производной функции
: 
, 
; если же 
зависит от значения переменной 
(времени), то часто вместо 
пишут 
. Если вышеуказанный предел существует в каждой точке интервала 
, то 
становится функцией, определённой на (a, b).
Пример 1. Используя определение производной, найти производную функции 
.
Решение. Придадим значению переменной x приращение Dx, тогда функция получит приращение
Dy = f(x + Dx) – f(x) = sin (2(x + Dx) + 1) – sin (2x + 1) =
= 2 sin Dx cos (2x + Dx + 1).
Отсюда находим
.
Таким образом, 
.
Процесс нахождения производной часто называют дифференцированием.
2. Таблица производных
(Здесь и ниже C – постоянная величина.)
; 
;
; 
;
; 
;
; 
;
; 
.
3. Правила дифференцирования
Если функции f(x) и g(x) имеют производные и 
, то функции 
, 
, 
, 
также имеют производные (последняя – при условии 
), и при этом
; 
;
; 
.
Теорема 1 (о производной сложной функции). Пусть функции , определённая в окрестности точки x0, и z = g (y), определённая в окрестности точки 
, обладают тем свойством, что существуют производные и 
. Тогда функция
имеет производную в точке x0 и при этом
.
Пример 2. Найти производные функций:
а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
Решение. а), б) Применяя правила дифференцирования, находим
= 
;
в), г) Применяя теорему о дифференцировании сложной функции, находим
= 
;
.
Пример 3.Показать, что функция 
удовлетворяет уравнению
. (1)
Решение. Найдём производную нашей функции
.
Подставив это выражение в (1), получим
,
или 
.
Это и доказывает, что наша функция удовлетворяет уравнению (1).
Для дифференцирования степенно-показательной (вида 
) и некоторых других функций удобно пользоваться так называемым логарифмическим дифференцированием.
Пример 4. Найти производные функций:
а) 
; б) 
.
Решение.а) Предварительно прологарифмируем обе части равенства , имеем
.
Продифференцируем обе части последнего равенства, считая 
сложной функцией от :
;
отсюда находим
.
Подставив , наконец, получим
.
б) действуя так же, находим
;
;
