Линейные комбинации и линейная зависимость

Выражение вида

 

 

называется линейной комбинацией векторов , , ..., . Числа , , …, называются ее коэффициентами.

Если вектор равен линейной комбинации векторов , , ..., , то говорят, что вектор линейно выражается через векторы , , …, .

Система векторов , , ..., называется линейно зависимой, если существуют числа , , …, , не все равные нулю такие, что

 

.

 

В противном случае система векторов называется линейно независимой.

Предложение 1.1. Система векторов, содержащая не менее двух векторов, линейно зависима тогда и только тогда, когда какой-нибудь вектор этой системы представим в виде линейной комбинации остальных.

Доказательство. Пусть система векторов , , …, линейно зависима. В соответствии с определением существуют числа , , …, , не все равные нулю такие, что .

Пусть, например, . Тогда

 

,

 

т.е. вектор представлен в виде линейной комбинации векторов , , …, .

Обратно, пусть какой-нибудь вектор, например , представим в виде линейной комбинации остальных:

 

.

 

Отсюда

 

.

 

Так как коэффициент при здесь не равен нулю, то векторы линейно зависимы.

 

Замечание 1.1. Понятие линейной зависимости является алгебраическим. Геометрические его выражения – коллинеарность в двумерном случае и компланарность – в трехмерном.

 

Предложение 1.2. Если при добавлении вектора к линейно независимой системе , , …, получаем линейно зависимую систему, то вектор линейно выражается через векторы , , …, .

Доказательство. Найдутся такие числа , , …, , , не все равные нулю, что

 

.

 

Тогда именно . Действительно, если , то и, следовательно, равенство превращается в равенство

 

 

и среди чисел , , …, , найдется отличное от нуля. Тогда система , , …, линейно зависима. Противоречие.

Следовательно, и из получаем

 

.

 

Предложение доказано.