ЧАСТЬ 4. ВЕКТОРЫ.

1.Даны точки А(2; 2), В(-2; 0), С(0; 2). Найдите такую точку D(x; y), чтобы и были равны.

2.Дан ромб ABCD со стороной 1 и углом А,равным 60°. Чему равна длина суммы векторов:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ?

3.В треугольнике АВС вектор = и вектор = . Постройте каждый из следующих векторов:

а) ; б) ; в) ; г) – .

4.Докажите, что если и векторы ненулевые и не коллинеарные, то из них можно составить треугольник.

5.В параллелограмме ABCD точка К – середина стороны ВС, М – середина стороны CD. АВ= , AD= . Разложите по векторам и следующие векторы: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) .

6.При каком значении k векторы : а) коллинеарны; б) одинаково направлены?

7.Доказать, что если для ненулевых векторов , , выполняются равенства: = + , | |= | |+| |, то векторы , , коллинеарны.

8.Доказать, что если , то точки М, В, А лежат на одной прямой.

9.Найдите единичный вектор, коллинеарный вектору и одинаково направленный с ним.

10.В трапеции отношение оснований и равно 3:2, диагонали трапеции пересекаются в точке F. Выразить вектор через векторы = и = .

11.В треугольнике точка на стороне и точка на стороне выбраны так, что | |:| |= 2 : 1, | |:| = 2 : 1. Отрезки и пересекаются в точке P. Найти : .

12.Точки R и Q – проекции точки Р, лежащей на стороне АВ равностороннего треугольника ABC, на его стороны АС и ВС. Доказать, что прямая, содержащая медиану РМ треугольника RQP,проходит через центр О треугольника ABC.

13.В параллелограмме ABCD = , = . Выразите векторы , через и .

14.В треугольнике ABC точка М принадлежит стороне АВ,при этом АМ : MB = 2 : 1, точки Q, N – на стороне ВС, BQ : QC = 1 : 6, BN : NC = 3 :2, Р – на стороне АС, АР : PC = 2 : 3. Отрезки MN и QP пересекаются в точке О. Найдите МО : ON, РО : OQ.

15. , , , . Найдите косинус угла между векторами m и n.

16.Докажите, что высоты треугольника пересекаются в одной точке.

17.В правильном треугольнике ABC со стороной равной 1, отрезок с концами Р и М на сторонах АВ и ВС пересекает отрезок ВК,точка К лежит на стороне АС. Найдите угол между прямыми ВК и РМ,если ВР : РА = 1 : 2, ВМ : МС = 3 : 1, АК : КС = 1 : 2.

18.Докажите, что четырехугольник ABCD с вершинами А(1; 0), В(3; 3), С(-1; 2), D(3; 8) – трапеция.

19.Докажите, что для любых а, b, с, d имеет место неравенство

.

20.При каком значении х векторы и коллинеарны, если (3-х;4), (2; 4+х).

21.Решите неравенство: .

22.Даны три вектора . Найдите такие числа λ и μ, чтобы выполнялось векторное равенство .

23.Даны векторы и . Найдите абсолютную величину вектора -2 + 4 .

24.Найти угол между векторами и , если | |=4, |2 - 5 |=17, (3 + 2 ) = 42.

25.Найдите длину диагонали АС ромба ABCD, у которого длины сторон равны 1 и угол BAD равен 30⁰.