Критерий Коши сходимости последовательности.

Определение: Последовательность {x_n} называется фундаментальной, если " e > 0 $ N, " n >N и " натурального p: ½x_n+p-x_n½ < e.

Так как m = n+p - тоже произвольное число >N, то определение фундаментальности можно сформулировать следующим образом: " e > 0 $ N, " n >N и " m > N:½x_m-x_n½ < e.

Геометрически фундаментальность последовательности {x_n} означает, что для любого сколь угодно малого e существует такой номер N, что любые два члена последовательности с большим, чем N, номерами, отстоят друг от друга не более, чем на e.

(здесь рисунок)

Пример: Докажем, что последовательность =1, , , … - фундаментальная. Зададим произвольное e > 0, возьмем N > . Тогда > e, и " n >N и " натурального p: ½x_n+p-x_n½ = = - < < < e. Это и означает, что последовательность - фундаментальная.

 

Лемма 2. Фундаментальная последовательность ограничена.

Доказательство: Пусть {x_n} - фундаментальная последовательность. Возьмем какое-нибудь положительное e, например, e = 1. По определению фундаментальности, $ N, " n >N и " m > N:½x_m-x_n½ < 1. Зафиксируем какое-нибудь m₀ > N, тогда < 1 при n >N, или - 1 < x_n < + 1 при n >N. Таким образом, все члены последовательности с номерами n >N лежат в интервале ( - 1, + 1), вне этого интервала лежит только конечное число членов последовательности. Это и означает, что последовательность {x_n} ограничена.

Лемма доказана.

Теорема 6.4 (критерий Коши сходимости последовательности) Для того, чтобы числовая последовательность сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.