Производные высших порядков.

Пусть функция y = f(x) имеет производную f'(x) на некотором промежутке, тогда производная f'(x) сама является функцией, заданной на этом промежутке. Пусть f'(x) имеет производную в некоторой точке х из этого промежутка, тогда эта производная называется второй производной (производной более высокого порядка) функции y = f(x) в точке х. Обозначение: (f'(x))' = f''(x), y''(x), (x). Производные более высоких порядков вводятся по индукции: третья производная - производная от второй, " n ³ 2 y⁽ⁿ⁾(x) = [y⁽^n-1)(x)]'. Физический смысл производной второго порядка х -время. y = f(t) - путь пройденный за время x. f'(x) = v(x) – скорость f''(x) = v'(x) = a(x) - ускорение. Геометрический смысл второй производной:

(рисунок)

1) y = x^a. y' = a x^a. y'' = a(a - 1)x^a-2.…

y⁽ⁿ⁾ = a(a - 1) … a(a - n + 1)x^a-ⁿ.

Отметим, что если a - m -натуральное число, то (y^m)⁽^m) = m(m - 1) … 1 = m!. (y^m)⁽ⁿ⁾ = 0 " n < m.

2) y =a^x. y' = x^aln a, y'' =a^x(ln a)², y⁽ⁿ⁾ = a^x(ln a)ⁿ. В частности, (e^x)⁽ⁿ⁾ = e^x.

3) y = six x, y' = cos x = sin(x + ), y'' = cos(x + ) = sin(x +2 )…

y⁽ⁿ⁾ = (sin x)⁽ⁿ⁾= sin(x +n )

4) (cos x)⁽ⁿ⁾= cos(x +n ) - докажите сами.

Две формулы, для производных n - го порядка.

1)[u(x) ± v(x)]⁽ⁿ⁾ = [(u + v)']' = [u' + v']' = (u')' + (v')' = u⁽²⁾ + v⁽²⁾.

3) (uv)⁽ⁿ⁾ = u⁽ⁿ⁾v + u⁽^n-1)v' + u⁽^n-2)v'' + … + u⁽^n-^k)v⁽^k)+ uv⁽ⁿ⁾=

= u⁽^n-^k)v⁽^k), (формула Лейбница) (1),

где = , 0! = 1, v⁽⁰⁾= v, совпадает с формулой разложения (u + v)⁽ⁿ⁾ = u⁽^n-^k)v⁽^k)- бином Ньютона, лишь вместо степеней стоят производные соответствующих порядков. Как и бином Ньютона, формула Лейбница доказывается по индукции.

Докажем формулу Лейбница по методу индукции. При n = 1 эта формула принимает вид , что совпадает с правилом дифференцирования произведения. Пусть для некоторого n формула (1) верна. Продифференцируем ее и объединим слагаемые, стоящие в правой части, следующим образом

(2)

(При этом мы воспользовались тем, что 1 = ). Для любого k, не превосходящего n, справедливо

Пользуясь этой формулой, перепишем (2) в виде

(3)

Тем самым доказана справедливость формулы (1) для номера (n +1). Вывод формулы Лейбница завершен.

Пример: (x² e^3x)⁽¹⁰⁾ = (e^3x)⁽¹⁰⁾x² + (e^3x)⁽⁹⁾2x + (e^3x)⁽⁸⁾2 = e^3x3¹⁰2x² + 10e^3x3⁹2x + 45e^3x3⁸2

= e^3x3⁹(3x² + 20x + 30).