Достаточное условие непрерывности функции в точке.

Пусть f(x) определена на [a, a + d). Функция f(x) называется непрерывной в точке а справа, если f(x) = f(а). (то есть f(а + 0) = f(а)).

Аналогично определяется непрерывность в точке а слева.

 

Пример:

f(x) = [x].

(рисунок)

" целого n: f(n - 0) = n - 1, f(n + 0) = n, f(n) = n, то есть, f(n + 0) = f(n) ¹ f(n - 0).

Следовательно , в целочисленных точках эта функция непрерывна только справа. В остальных точках- и справа и слева.

 

Теорема 3.1

Если f(x) непрерывна в точке а справа и слева, то она непрерывна в точке а.

Доказательство:

По условию f(а + 0) = f(а) и f(а - 0) = f(а).

Отсюда по теореме 2.1 ( Если в точке a правое и левое предельные значения функции f(x) равны, то в точке a существует предельное значение этой функции, равное указанным односторонним предельным значениям) следует, что $ f(x) = f(а), а это и означает, что f(x) непрерывна в точке а.

Теорема доказана.

Производная обратной функции.