Верное доказательство.

Введём функцию f(x) = (x ³ 1).

При n £ x < n + 1: f(x) = , поэтому f(x) = e.

Воспользуемся неравенствами: [x] £ x < [x +1] = [x] + 1. Отсюда при x ³ 1 имеем:

< £ а, следовательно, 1 + < 1+ £ 1 + .

Поэтому

£ £ или

.

Отсюда следует, что = е.

Положим у = . Тогда y ® +0, если х ® +¥ и мы получаем,

что (1 + у)^1/у = е или

(1 + х)^1/х = е. (1)

Рассмотрим теперь (1 + х)^1/х. Положим у = - х. Тогда y ® +0, если х ® -0.

(1 + х)^1/х = (1 - у)^-1/у= = .

Положим = z. Тогда z ® +0, если y ® +0 и y = , = +1.

Таким образом, (1 + х)^1/х= =(1 + z)^1/z+1. Если х ® -0, то z ® +0, поэтому

(1 + z)^1/z+1= ® e.

Итак, (1 + х)^1/х = е. (2)

Из (1) и (2) следует, что (1 + х)^1/х = е.