Решение.

, (складываем по строкам), следовательно,

 

xi
pi

Проверка: .

, (складываем по столбцам), следовательно,

 

yj
pj

Проверка: .

 

2. Функция распределения – закон распределения СВДТ и СВНТ.

Функция распределения – универсальный закон распределения случайных векторов как дискретного, так и непрерывного типа.

Определение 5.Функцией распределения системы двух случайных величин называется функция двух аргументов F(x,y), равная вероятности совместного выполнения двух неравенств: X < x, Y < y, т.е.

F(x,y) = Р(X < x, Y < y).

Геометрически F(x,y) представляет вероятность попадания случайной точки (X, Y) в левый нижний бесконечный квадрант плоскости с вершиной в точке (x,y).

F(x,y) = – для СВДТ

Свойства F(x, y).

1. Условие согласованности:

F(x, +∞) = F₁(x), F(+∞, y) = F₂(y)

Пояснение. Отодвигая одну из границ квадранта в бесконечность, получаем полуплоскость, вероятность попадания в которую есть функция распределения одной случайной величины.

 

2. F(+∞, +∞) = 1

Пояснение. Квадрант обращается во всю координатную плоскость, попадание случайной точки в которую есть достоверное событие.

 

3.F(–∞, y) = F(х, –∞) = F(–∞, –∞) = 0

Пояснение. Отодвигая ту или иную границу квадранта в (–∞), убеждаемся, что вероятность случайной точки попасть в квадрант равна нулю.

 

4.F(x, y) – неубывающая функция по каждому аргументу.

если х₂ > x₁, если y₂ > y₁.

5.Вероятность попадания случайной точки (X, Y) в произвольный прямоугольник со сторонами, параллельными координатным осям, вычисляется по формуле:

 

Определение 6. (второе определение)Двумерный случайный вектор называется случайным вектором непрерывного типа (СВНТ), если его функция распределения непрерывна на всей плоскости и существует неотрицательная и интегрируемая по Риману в бесконечных пределах по x, y функция f(x, y), называемая плотностью распределения СВНТ.

 

Пример 3. В примере № 1 п.2 найти функцию распределения, если случайный вектор задан таблицей распределения:

 

xi \ yj			2