Визначення рангу матриці

Якщо у будь-якій матриці виділити r довільних стовпців та r довільних рядків, то з елементів матриці, які містяться на перетині цих рядків та стовпців, можна скласти визначник r-го порядку. Його називають визначником або мінором r-го порядку.

Рангом матриці називають число, яке дорівнює найвищому порядку її мінору, відмінного від нуля. Ранг матриці прийнято позначати rang[A], або r[A].

Для визначення рангу прямокутної матриці зручно користуватися ЗЖВ. Нехай задано прямокутну матрицю [A],яка складається з m рядків та n стовпців.

Складаємо систему з m рівнянь, для яких коефіцієнтами при вільних змінах будуть елементи матриці [A].

Перепишемо цю систему у табличній формі:

	x1	x2	. . .	xn
y1	a11	a12	. . .	a1n
...	...	...	. . .	...
...	...	...	. . .	...
...	...	...	. . .	...
...	...	...	. . .	...
ym	am1	am2	. . .	amn

Виконаємо максимально можливе число кроків ЗЖВ, замінюючи залежні змінні на незалежні ї навпаки.

Припустимо, що k-максимально можливе число кроків ЗЖВ, то після останнього перетворення таблиця набуде вигляду:

	y1	. . .	yk	xk+1	. . .	xn
x1	a11	. . .	a1k	x1,k+1	. . .	a1n
. . .	. . .	. . .	. . .	. . .	. . .	. . .
. . .	. . .	. . .	. . .	. . .	. . .	. . .
. . .	. . .	. . .	. . .	. . .	. . .	. . .
xk	ak1	. . .	akk	ak,k+1	. . .	akn
yk+1	ak+1,1	. . .	ak+1,k		. . .
. . .	. . .	. . .	. . .	. . .	. . .	. . .
. . .	. . .	. . .	. . .	. . .	. . .	. . .
. . .	. . .	. . .	. . .	. . .	. . .	. . .
ym	am1	. . .	amk		. . .

 

Подальша заміна залежних змінних на незалежні неможлива, оскільки на перетині їхніх рядків та стовпців стоять нулі. Не порушуючи загальності, можна вважати, що поміняти можна перші k незалежні змінні на k перші залежні змінні. Тоді у жордановій таблиці елементи матриці порядку (m-k)*(n-k), які розміщені на перетині j-x рядків та i-x стовпців, будуть нулями. Звідси робимо висновок, що ранг матриці дорівнює числу максимально можливих послідовних кроків жорданових виключень, здійснених над жордановою таблицєю, елементами якої є елементи матриці, причому кожний рядок і кожний стовпець може бути вибраний як роз’вязувальний не більше одного разу.

Залежні змінні , які непереміщені у верхній рядок таблиці, лінійно виражаються через змінні , зміщені у верхній рядок таблиці. Цю залежність можна легко записати, враховуючи останню жорданову таблицю:

.