Нехай задані векторі

 

Знайдемо частинну похідну за змінною х_і від скалярного добутку :

 

Звідки випливає, що похідна від скалярного добутку векторів за одним із них дорівнює другому вектору:

Розглянемо добуток ,

де [A] - квадратна симетрична матриця порядку n,

,

 

Знайдемо частинні похідні за елементами вектора :

Це подвоєний добуток і-го рядка матриці [A] на вектор - стовпець. Звідки випливає

Враховуючи, що [A] = ^T[A]^T, а також, що для симетричної матриці [A]^T = [A], отримаємо альтернативну формулу

Розглянемо квадратичну матричну форму [ ^T[A] ] як функцію елементів а_ij матриці [A]. Знайдемо частинну похідну за елементом а_ij.

Всього таких частинних похідних n x n. Звідки слідує

Знайдемо другу частинну похідну за вектором від квадратичної форми