Общее уравнение плоскости
Преобразуем уравнение (1), раскроем скобки, на первое место выставим слагаемые, содержащие :
(**)
свободный член принято обозначать D,т.е. = D, подставим в уравнение(**), получим:
(2)
где А,В,С – координаты нормального вектора, причем (А,В,С, D) Z, А>0.
Уравнение (2) называется общим уравнением плоскости.
Задача 1Составить уравнение плоскости α, проходящей через точку N(2,-2,0) перпендикулярно вектору : А(5,0,1), В(3,2,-2) .
Решение
1 Плоскость проходит через точку N(2,-2,0).
2 Найдем нормальный вектор плоскости α.
Т.к. вектор перпендикулярен плоскости α по условию, то его можно рассматривать в качестве нормального вектора плоскости, т.е. = . Найдем координаты вектора :
, (-2, 2, -3), тогда (-2;2;-3).
3 Составим уравнение плоскости α.
Воспользуемся уравнением (1):
.
Имеем
Преобразуем, полученное уравнение к общему виду:
Умножим обе части уравнения на (-1), получим
.
Ответ: .
1.5 Исследование общего уравнения плоскости(таблица 2)
Таблица 2
Условия, определяющие плоскость | Вид уравнения | Определение плоскости | Графическое изображение |
1 | Общее уравнение плоскости | ||
2 | Уравнение плоскости, проходящей через начало координат | ||
Уравнение плоскости, проходящей параллельно оси | |||
Уравнение плоскости, проходящей параллельно оси | |||
Уравнение плоскости, проходящей параллельно оси | |||
Уравнение плоскости, проходящей через ось |
Уравнение плоскости, проходящей через | |||
Уравнение плоскости, проходящей параллельно ось | |||
Ах + D = 0 | Уравнение плоскости, проходящей параллельно координатной плоскости | ||
Ву + D = 0 | Уравнение плоскости, проходящей параллельно координатной плоскости | ||
Сz + D = 0 | Уравнение плоскости, проходящей параллельно координатной плоскости | ||
Ву = 0, у = 0 | Уравнение координатной плоскости |
Ах = 0, х = 0 | Уравнение координатной плоскости | ||
Сz = 0, z = 0 | Уравнение координатной плоскости |
Замечание Графическое изображение плоскостей, представлено в первом октанте