ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАССТОЯНИЯ ОТ ТОЧКИ ДО ПЛОСКОСТИ (ЗАДАЧА №3)

 

Рассмотрим алгоритм решения задачи №3.

1. Из заданной точки P провести перпендикуляр t к плоскости α (плоскость α – плоскость фигуры, построенной в задаче №1); (·)PÎt; t ^ α (см. пример 5.1).

2. Определить точку пересечения (точку T) перпендикуляра с плоскостью α; t ∩ α = (·) T (см. пример 5.2).

3. Определить натуральную величину │PT│ расстояния от точки P до плоскости (см. пример 5.3).

Рассмотрим более подробно каждый пункт приведённого выше алгоритма на следующих примерах.

Пример 5.1. Из точки P провести перпендикуляр t к плоскости α, заданной тремя точками α (ABC), (рис. 5.1).

Из теоремы о перпендикулярности прямой и плоскости известно, что если прямая t ^ α, то на эпюре её горизонтальная проекция t₁ перпендикулярна одноимённой проекции горизонтали плоскости, то есть t₁ ^ h₁, а её фронтальная проекция t₂ перпендикулярна одноимённой проекции фронтали, то есть t₂ ^ f₂. Поэтому решение задачи необходимо начать с построения горизонтали и фро-нтали плоскости α, если они не входят в заданную плоскость. При этом необхо-димо помнить, что построение любой горизонтали надо начинать с фронтальной проекции, так как фронтальная проекция h₂ горизонтали h всегда параллельна оси ОХ (h₂││OX). А построение любой фронтали начинают с горизонтальной проекции f₁ фронтали f, которая должна быть параллельна оси ОХ (f₁││OX ). Так, на рис. 5.1 через точку C проведена горизонталь C-1 (С₂-1₂; С₁-1₁), а через точку A проведена фронталь A-2 (A₁-2₁; A₂-2₂). Фронтальная проекция t₂ искомого перпендикуляра t проходит через точку P₂ перпендикулярно к A₂-2₂, а горизонтальная t₁ – через точку P₁ перпендикулярно к C₁-1₁.

Пример 5.2. Определить точку пересечения перпендикуляра t с плоскостью α (то есть определить основание перпендикуляра).

 

 

Пусть плоскость α задана двумя пересе-кающимися прямыми α (h ∩ f). Прямая t пер-пендикулярна плоскости α, так как t₁ ^ f₁, а

t₂ ^ f₂. Для того чтобы найти основание пер-пендикуляра, необходимо осуществить следующие построения:

1. tÎb (b – вспомогательная проецирую-щая плоскость). Если b – горизонтально-прое-цирующая плоскость, то её вырожденная гори-зонтальная проекция (горизонтальный след b₁) совпадает с горизонтальной проекцией t₁ пря-мой t, то есть b₁≡t₁. Если b – фронтально-прое-цирующая плоскость, то её вырожденная фро-нтальная проекция (фронтальный след b₂) сов-падает с фронтальной проекцией t₂ прямой t, то есть b₂ ≡ t₂. В данном примере использована фронтально-проецирующая плоскость (см. рис. 5.2).

2. α ∩ b = 1-2 – линия пересечения двух плоскостей;

3. определяем точку T – основание перпендикуляра; (·)T= t ∩ 1-2.

Пример 5.3. Определить расстояние от точки P до плоскости.

Расстояние от точки P до плоскости определяется длиной отрезка перпендикуляра PT. Прямая PT в пространстве занимает общее положение, поэтому порядок определения натуральной величины отрезка см. на стр. 7, 8 (рис. 3.4 и 3.5).

Эпюрное решение задачи №3 по определению расстояния от точки P до плоской фигуры, а именно до плоскости квадрата, построенного по заданным условиям*, приведено на рис. 5.3. Следует напомнить, что проекции точки P должны быть построены по заданным координатам (см. вариант своего задания).

 

 

 

 

 

6. ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ И ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

 

Условия задач и координаты точек приведены в таблице 6.1.

 

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ 148

 

Таблица 6.1

№ вар.	Коорд.	A	Прямая	P	Плоскость α	Плоскость β
K	L	Q	E	F	M	N	R
	X
Y
Z
	X
Y
Z
	X
Y
Z
	X
Y
Z
	X
Y
Z
	X
Y
Z
	X
Y
Z
	X
Y
Z

Условие 1-ой задачи: Построить проекции параллелограмма ABCD, если диагональ AC перпендикулярна прямой KL, а сторона DC принадлежит прямой KL и равна AC.

 

 

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ 9416

 

Продолжение табл. 6.1

№ вар.	Коорд.	A	Прямая	P	Плоскость α	Плоскость β
K	L	Q	E	F	M	N	R
	X
Y
Z
	X
Y
Z
	X
Y
Z
	X
Y
Z
	X
Y
Z
	X
Y
Z
	X
Y
Z
	X
Y
Z

Условие 1-ой задачи: Построить проекции квадрата ABCD, если его диагональ BD принадлежит прямой KL. Вершина A задана.

 

 

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ 17424

 

Продолжение табл. 6.1

№ вар.	Коорд.	A	Прямая	P	Плоскость α	Плоскость β
K	L	Q	E	F	M	N	R
	X
Y
Z
	X
Y
Z
	X
Y
Z
	X
Y
Z
	X
Y
Z
	X
Y
Z
	X
Y
Z
	X
Y
Z

Условие 1-ой задачи: Построить проекции равнобочной трапеции ABCD, высота которой равна меньшему основанию, а большее основание DC принадлежит прямой KL и равно 3│AB│. Вершина A задана.

 

 

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ 25432

 

Продолжение табл. 6.1

№ вар.	Коорд.	A	Прямая	P	Плоскость α	Плоскость β
K	L	Q	E	F	M	N	R
	X
Y
Z
	X
Y
Z
	X
Y
Z
	X
Y
Z
	X
Y
Z
	X
Y
Z
	X
Y
Z
	X
Y
Z

 

Условие 1-ой задачи: Построить проекции ромба ABCD, диагональ BD которого принадлежит прямой KL, а отношение диагоналей AC:BD=1:2. Вершина A задана.

 

 

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ 33442

 

Продолжение табл. 6.1

№ вар.	Коорд.	A	Прямая	P	Плоскость α	Плоскость β
K	L	Q	E	F	M	N	R
	X
Y
Z
	X
Y
Z
	X
Y
Z
	X
Y
Z
	X
Y
Z
	X
Y
Z
	X
Y
Z
	X
Y
Z
	X
Y
Z
	X
Y
Z

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ 43452

 

Продолжение табл. 6.1

№ вар.	Коорд.	A	Прямая	P	Плоскость α	Плоскость β
K	L	Q	E	F	M	N	R
	X
Y
Z
	X
Y
Z
	X
Y
Z
	X
Y
Z
	X
Y
Z
	X
Y
Z
	X
Y
Z
	X
Y
Z
	X
Y
Z
	X
Y
Z

 

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ 53462

 

Продолжение табл. 6.1

№ вар.	Коорд.	A	Прямая	P	Плоскость α	Плоскость β
K	L	Q	E	F	M	N	R
	X
Y
Z
	X
Y
Z
	X
Y
Z
	X
Y
Z
	X
Y
Z
	X
Y
Z
	X
Y
Z
	X
Y
Z
	X
Y
Z
	X
Y
Z

 

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ 63470

 

Продолжение табл. 6.1

№ вар.	Коорд.	A	Прямая	P	Плоскость α	Плоскость β
K	L	Q	E	F	M	N	R
	X
Y
Z
	X
Y
Z
	X
Y
Z
	X
Y
Z
	X
Y
Z
	X
Y
Z
	X
Y
Z
	X
Y
Z

 

Условие 1-ой задачи: Построить проекции равнобедренного прямоугольного треугольника ABC, катет BC которого принадлежит прямой KL. Вершина A задана.

 

Пример выполнения работы №1 приведён на рис. 6.1.

Размеры таблицы координат и штампа показаны на рис. 6.2, а; б.

 

 

 

 

 

 

 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

 

1. Начертательная геометрия: Учебн. для вузов / Н.Н. Крылов, Г.С. Иконникова, В.Л. Николаев, В.Е. Васильев. Под ред. Н.Н. Крылова. – изд. 7-е, перераб. и доп., – М.: Высш. шк., 2000. – 224 с.: ил.

2. Чекмарев А.А. Инженерная графика: Учеб. для немаш. спец. вузов. – 4-е изд. стер. – М.: Высш. шк., 2002. – 365 с.: ил.

 

 

Учебно-методическое издание