Свободные затухающие колебания

Модель свободных затухающих колебаний, согласно рисунку 8, включает демпфер 2, а сила, выводящая из состояния покоя, мгновенно приложена к телу и колебания происходят вне воздействия этой силы.

Уравнение имеет вид

,

 

где ; ; m – коэффициент сопротивления.

1. Случай малого сопротивления n < k

 

Общее решение дифференциального уравнения

 

 

или в ином виде

,

 

где частота затухающих колебаний

 

.

 

Постоянные интегрирования определяются из начальных условий при , , :

; .

Амплитуда колебаний и фаза колебаний определяются следующим образом:

 

, .

 

Период затухающих колебаний .

 

Декремент затухания

, где .

2. Предельный случай n = k

 

Решение имеет вид .

Постоянные интегрирования определяем из начальных условий при , , :

; .

При x становится неопределенностью типа . По правилу Лопиталя материальная точка совершает апериодическое затухающее движение.

3. Случай большого сопротивления n > k

 

Общее решение дифференциального уравнения имеет вид

 

.

 

Постоянные интегрирования определяем из начальных условий при , , :

; ,

 

где ; .

При при имеет место апериодическое затухающее движение.

Рис.4. Апериодическое движение