Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Прямая линия на плоскости.

Различные уравнения прямой на плоскости.

 

Определение. Уравнение прямой – это уравнение, связывающее координаты

x и y любой точки, лежащей на прямой.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Определение. Угловым коэффициентом прямой называется тангенс угла наклона этой прямой к оси ОХ.

Угловой коэффициент обозначается через k.

Итак,

Итак, угловой коэффициент обозначается .

Если j- острый угол, то k>0, если j- тупой угол, то k<0, если j=0 прямая параллельна оси ОХ и k=0, если , то прямая не имеет углового коэффициента.

Напишем уравнение прямой, имеющей угловой коэффициент, равный k и отсекающей отрезок величины b на оси OY.

Пусть M(x,y)- произвольная точка прямой.

Рассмотрим треугольник MBN; он прямоугольный. Очевидно, что

Значит , откуда получаем уравнение (1)

Это и есть уравнение прямой с угловым коэффициентом.

2. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении.

Дана точка , k – угловой коэффициент. Написать уравнение прямой, проходящей через точку и имеющей угловой коэффициент k.

Пусть M(x,y) – произвольная точка прямой.

Рассмотрим треугольник M₁MN:

Откуда получаем искомое уравнение: (2)

3. Уравнение прямой, проходящей через 2 точки.

Пусть даны две точки и . Написать уравнение прямой, проходящей через эти точки.

Угловой коэффициент k определим из треугольника M₂M₁N:

Подставим полученное значение k в уравнение (2):

Разделим обе части уравнения на :

Запишем полученное уравнение в виде:

(3)

Это и есть искомое уравнение прямой, проходящей через две точки.

4. Общее уравнение прямой.

Уравнение вида Ax+By+C=0 (4) называется общим уравнением прямой.

а). Пусть , тогда это уравнение можно записать в виде:

Это и есть уравнение прямой с угловым коэффициентом, т.е. уравнение

вида (1), где

Так как уравнение (1) есть уравнение прямой, то и уравнение (4) есть также уравнение прямой.

б). Если В=0, мы получаем . Это есть уравнение прямой, параллельной оси ОУ.

Рассмотрим примеры.

1). Написать уравнение прямой, проходящей через точку и образующей угол с положительным направлением оси ОХ.

Решение. Найдем угловой коэффициент искомой прямой:

Тогда искомое уравнение примет вид

или

2). Написать уравнение прямой, проходящей через две точки: и

Решение. Искомое уравнение будет

или

3). Найти угловой коэффициент прямой 5x-3y+6=0.

Решение. Запишем уравнение прямой в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом:

откуда

5. Уравнение прямой, проходящей через данную точку, перпендикулярно данному вектору.

Дана точка и вектор . Написать уравнение прямой , проходящей через точку , перпендикулярно вектору .

Пусть - произвольная точка прямой.

Очевидно, что векторы и перпендикулярны: .

Условие перпендикулярности двух векторов – это равенство нулю их скалярного произведения:

Итак, получаем уравнение (5)

Уравнение (5) можно записать в виде Ax+By+C=0,

где

Таким образом, коэффициенты А и В в общем уравнении прямой являются координатами вектора, перпендикулярного к этой прямой. Вектор называется нормальным вектором прямой.

Пример. Написать уравнение прямой, проходящей через точку , перпендикулярно вектору .

Решение. Используем уравнение (5) 3(x+2)+4(y-3)=0

Окончательно, 3x+4y-6=0

6. Уравнение прямой в отрезках на осях.

Пусть требуется написать уравнение прямой, отсекающей на координатных осях ОХ и ОУ отрезки величин a и b соответственно.

 

Заданная прямая проходит через две точки A(a,0) и B(0,b). Используем уравнение прямой, проходящей через две точки:

Окончательно, получаем (6)

Пример. Дана прямая 2x-3y-6=0. Привести это уравнение к уравнению в отрезках на осях.

Чтобы получить отрезок a, отсекаемый на оси ОХ, нужно положить в данном уравнении y=0; чтобы получить отрезок b – х=0.

y=0; 2x-6=0; 2x=6; x=3; т.е. a=3

x=0; -3y-6=0; -3y=6; y=-2; т.е. b=-2

Искомое уравнение примет вид:

7. Нормальное уравнение прямой.

Пусть известно расстояние р от прямой до начала координат , и угол α, образуемый перпендикуляром к прямой и положительным направлением оси ОХ. Требуется написать уравнение прямой.

Пусть - произвольная точка прямой, - единичный нормальный вектор прямой.

Найдем скалярное произведение .

По определению скалярного произведения:

,

где - угол между векторами .

Но

Следовательно, мы получим

Итак, мы получаем уравнение или, окончательно,

(7).