Системы линейных уравнений с параметрами

Система вида

(1)

где А_1, А_{2 ,} В_1, В_2, С_1, С₂ – выражения, зависящие от параметров,

а х, у – неизвестные, называется системой двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными в параметрах.

Если из какого-нибудь уравнения системы можно найти одну из неизвестных х или у через другую, то, подставив найденную неизвестную в другое уравнение, получим линейное уравнение с параметрами относительно одной неизвестной. Тем самым, исследование системы сведётся к исследованию линейного уравнения.

Каждое из уравнений системы двух уравнений с двумя неизвестными представляют собой прямые.

На плоскости возможны три случая взаимного расположения двух прямых. Эти прямые могут:

а) пресекаться, в этом случае система (1) имеет единственное решение; коэффициенты системы удовлетворяют условию

б) совпадать, в этом случае система (1) имеет бесконечно много решений; коэффициенты системы удовлетворяют условию

= =

в) параллельны, в этом случае система (1) не имеет решений;

коэффициенты системы удовлетворяют условию

= ≠

Пример 1. Определить, при каких значения m система

имеет единственное решение.

Решение: Данная система имеет единственное решение, если

Ответ: m ≠ 6.

Пример 2. Определить, при каком значении m система не имеет решений.

Решение: Так как то данная система не имеет реше-

 

ний, если = т. е. m=4.

Ответ: m = 4.

Пример 3. Определить, при каком значении m система имеет бесконечное множество решений.

Решение: Так как = то данная система имеет бесконечное множество решений, если = т. е. при m = 10.

Ответ: m = 10.