Линейные уравнения с параметрами

Уравнение вида Ах = В, где А, В – выражения, зависящие

от параметров, а х – неизвестное, называется линейным уравнением с параметрами.

Решить уравнение с параметрами – значит для всех значений параметров найти множество всех корней заданного уравнения.

Линейное уравнение Ах = В исследуется по следующей схеме.

1) Если А = 0 и В , то уравнение не имеет решений

(х Ø).

2) Если А = 0 и В = 0, то уравнение имеет вид 0 · х = 0 и удовлетворяется при любом х, т.е. решением уравнения будет множество всех действительных чисел (х

3) Если А то уравнение имеет единственное решение х =

Пример 1. Для всех значений параметров k решить уравнение

(k + 4)х = 2k + 1.

Решение: Уравнение записано в стандартном виде Ах = В, поэтому его исследование проведём по указанной схеме.

1) Если k + 4 = 0, т.е. k = -4, то уравнение имеет вид

0 · х = -7, откуда х Ø.

2) Если k + 4 т.е. k то обе части уравнения можно делить на k + 4. Тогда х =

Ответ: если k = -4, то х Ø;

22

если k то х =

Пример 2. Для всех значений параметров а и b решить уравнение (a – 2) х = 4а +3b.

Решение: 1) а = 2. Уравнение имеет вид 0 · х = 8 + 3b.

Если 8 + 3b ,т.е. b то это равенство ни при каком х не выполняется, поэтому х Ø.

Если b= - то уравнение примет вид 0 · х = 0, откуда следует: х

2) а - 2 , т.е. а . Тогда х =

Ответ: если а =2, b то х Ø;

если а = 2, b= - то х

если а , b- любое, то х =